Question

抛物线y=-x的平方+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点

（1）求，该抛物线的解析式。
（2）设（1）中的抛物线交y轴与c点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得三角形QAC的周长最小？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）将A(1,0),B(-3,0)代人，得，
-1+b+c=0,
-9-3b+c=0,
解得b=-2,c=3
所以解析式为y=-x^2-2x+3
2)当x=0时，y=3,
所以C(0,3)
作C关于对称轴x=-1的对称点C',则C‘（-2,3）
连C'A，交对称轴的交点为Q,此时三角形QAC的周长最小
设过C',A的直线为y=kx+b,则：
k+b=0,
-2k+b=3,
解得k=-1,b=1,
所以直线C'A为y=-x+1
当x=-1时，y=2,
所以Q(-1,2)

追问

在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点p，使三角形PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及三角形的面积最大，若没有，理由，谢谢啊

追答

过P作y轴的平行线,交BC于点E,
设第二象限上点P坐标为(x,-x^2-2x+3),(-3<x<0)
直线BC的解析式为：y=x+3,
所以PE=(-x^2-2x+3)-(x+3)=-x^2-2x+3-x-3=-x^2-3x
△PBC的面积=△PBE面积+△PEC面积
=（1/2）*PE*3
=(-3/2)X^2-9X/2
当x=-b/2a=-3/2时，三角形PBC的面积最大，
此时，P(-3/2,15/4)