Question

一道数学找规律题，要有过程

设S1=1加1/（1的平方）加1/（2的平方），S2=1加1/（2的平方）加1/（3的平方）…Sn=1加1/(n的平方）加1/（n加1）的平方，设S=根号下S1加根号下S2加…根Sn.则S=多少？（答案上是（n平方加2n)/（n加1），不明白的是前面加的那些根S1S2哪去了？

Answer 1

S1=1+1/1²+1/2²，
S2=1+1/2²+1/3²
…
Sn=1+1/n²+1/(n+1)²
将Sn右边通分
Sn=[n²(n+1)²+(n+1)²+n²]/[n²(n+1)²]
=[n²(n+1)²+2n(n+1)+1]/[n²(n+1)²]
=[n(n+1)+1]²/[n²(n+1)²]
∴√Sn=[n(n+1)+1]/[n(n+1)]
=1+1/[n(n+1)]
=1+1/n-1/(n+1)
∴ S=√S1+√S2+…+√Sn.
=(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+(1+1/3-1/4)+........+[1+1/n-1/(n+1)]
=n+[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/(n+1)]
=n+1-1/(n+1)=[(n+1)²-1]/(n+1)=(n²+2n)/(n+1)

Answer 2

因为：S1=1+1/(1的平方）+1/(2的平方)
S2=1+1/(2的平方）+1/(3的平方）
S4=1+1/(3的平方)+1/(4的平方)………
Sn=1+1/（N的平方）+1/［(N+1）的平方］
化解的：（“√”表示根号）√S1=1+1/2
=1+1-1/2;√S2=1+1/6=1+1/2-1/3;√S3=1+1/12=1+1/3-1/4;√S4=1+1/20=1+1/4-1/5;…√SN=1+1/n(n+1)=1+1/n-1/(n+1)
;所以S=√S1+√S2+√S3+√S4+……+√Sn；代入上面数据得：S=n+[1-1/(n+1)]=[n(n+2)]/(n+1)=(n的平方+2n)/(n+1)