Question

如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，点E、F分别在DA、CD的延长线上，且AE=DF,连BE、AF.延长FA交BE于G

（2）连OG，求角OGF的度数
（3）若AE=根号5，AB=2根号5，求DG的长

Answer 1

补充（1）求证；BE⊥AF；

    （2）延长FA交BE于G，连OG，求∠OGF的度数；

    （3）在（2）中，若AE=√5，AB=2√5，求OG的长。

解：

（1)在RT△ABE和RT△ADF中

∵AE=DF   AB=AD   

∴△ABE≌△ADF

∴∠A1=∠B

   ∠A1=∠A2（对顶）

　∠A2+∠E＝90°

∴BE⊥FG（AF的延长线）即BE⊥AF

（2）连接OE    并在AF上取FH=EG得H点

在△OAE和△ODF中

   AE=DF  OA=OD    ∠OAE=∠ODC（都是90+45）

    ∴△OAE≌△ODF

  ∴OE=OF  ∠3=∠4

   ∵OA⊥OD  ∴OE⊥OF

   ∴△EOF是等腰直角三角形

  ∴OG⊥OH（相当于随AE旋转了90）

  ∴△OGH也是等腰直角三角形

  ∴∠OGF=∠OHG=45°

（3）若AE=√5，AB=2√5，求OG的长。

  在RT△AEG和RT△ABE中，

  EG/AE=AE/BE     （BE=√（AE²+AB²）=√（5+20）=5

    ∴EG=AE²/BE=5/5=1

又GA/AB=EG/AE  

    ∴GA=AB*EG/AE =2√5*（1/ √5）=2

    ∴GH=GF-HF=（AF+AG）-HF=（BE+AG）-EG=（5+2）-1=6

    ∴OG=（√2）/2*HG=3√2

Answer 2

（1)易证△ABE≌△ADF
∴∠E=∠AFD
∵∠EAG=∠DAF（对顶）
∴∠AGE＝∠ADF=90°
∴BE⊥FG(AF的延长线)即BE⊥AF
（2）连接OB
∵∠BGA=∠BOA=90°
∴B、O、A、G四点共圆
∴∠OGA=∠OBA=45°(∠OGA和∠OGF同角)
（3）过O点作OM和ON分别垂直于⊥GF和CD，
OF=√(ON²+NF²)=√(20+5)=5
BE=√(AE²+AB²)=√(5+20)=5
又GA/AB=AE/BE
∴GA=AB*AE/BE =2√5*√5/5=2，GF=GA+AF=7
OG²=OH²+GH²=2GH² (1)
OG²-GH²=OF²-(GF-GH)²
=5²-(7-GH)² (2)
解得：OG=3√2

Answer 3

（2）易证△ADF≌△BAE(SAS)　　　∴∠DAF=∠ABE
∴∠E+∠EAG=∠E+∠DAF=∠E+∠ABE=90°, 则AG⊥BG
∵OA⊥OB
∴OAGB四点共圆
∴∠OGF=∠OBA=45度

（3）过C,O作FG的垂线,垂足分别为M,N
DF=AE=√5,AD=AB=2√5,勾股定理求得AF=5
CF=CD+DF=2√5+√5=3√5
易证△CFM∽△AFD
∴CF/AF=CM/AD, 3√5/5=CM/2√5, CM=6
∵AO=OC,ON∥CM(垂直于同一直线的两直线平行)
∴ON=CM/2=3　　　∵∠OGF=45°
∴GN=ON=3, 勾股定理求得OG=3√2

Answer 4

过C,O作FG的垂线,垂足分别为M,N（1)过E做直线EN∥AF交DF延长线于N点。∵EF∥AF，∴Rt△ADF∽Rt△EDF∴∠DAF=∠DEN又∵AE=DF，AB=AD，∠EAB=∠ADF=90°∴△BAE≌△ADF∴∠AEB=∠AFD∵∠BEN=∠BEA+∠DEN∴∠BEN=∠DAF+∠DFA=90°∴NE⊥BE，且NE∥AF∴AF∥BE（2）过O做OH⊥AB，垂足H，连接OH、OG根据（1）可知，FG⊥BE，即∠FGB=90°并且△BOA是直角等腰三角形，OH⊥AB∴H是AB的中点∴Rt△AGB中，GH=BH=AH∴∠GHB=∠HBG ∠HGO=∠HOG ∠OBH=∠HOB=45°∵△OHG中，∠OHG+2∠HGO=180°∵∠OHG=2(∠OBH+∠HBG)∴∠OBH+∠HBG+∠HGO=90°∵FG⊥BE，∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=90°∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=∠OBH+∠HBG+∠HGO∴∠OGA=∠OBH=45°（3）DF=AE=√5,AD=AB=2√5,勾股定理求得AF=5CF=CD+DF=2√5+√5=3√5易证△CFM∽△AFD∴CF/AF=CM/AD, 3√5/5=CM/2√5, CM=6∵AO=OC,ON∥CM(垂直于同一直线的两直线平行)∴ON=CM/2=3∵∠OGF=45°∴GN=ON=3, 勾股定理求得OG=3√2

Answer 5

问老师