Question

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1(m≠0).设函数f(x)=g(x)／x(1)若曲线y= f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为√2，求m的值；(2)k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点。

Answer 1

解：依题可设g（x）=a（x+1）^2+m-1（a≠0），
则g′（x）=2ax+2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行
∴2a=2
解得a=1
∴g（x）=x^2+2x+m，
∵f(x)=g(x)/x=x+m/x+2，
设P（x0，y0），
则|PQ|^2=x0^2+(y0-2)^2=2x0^2+m^2/x0^2+2m
≥2√2m^2+2m=2√2|m|+2m
当且仅当2x0^2=m^2/x0^2时，|PQ|^2取得最小值，
即|PQ|取得最小值√2

当m＞0时，m=√2-1
当m<0时，m=-√2-1