Question

数列{an-4}是首项为1.公比为-1/2的等比数列，设Sn为数列｛an｝的前n项和，若对任意n

于N+，都有P（Sn-4n）属于[1，3]，求p的范围

Answer 1

解：

an-4=1·(-½)ⁿ⁻¹

an=4+(-½)ⁿ⁻¹

Sn=a1+a2+...+an

=4n+[1+(-½)+...+(-½)ⁿ⁻¹]

=4n+1·[1-(-½)ⁿ]/[1-(-½)]

=4n+⅔[1-(-½)ⁿ]

p(Sn-4n)=p[4n+⅔[1-(-½)ⁿ]-4n]=⅔p[1-(-½)ⁿ]

p(Sn-4n)∈[1，3]

1≤⅔p[1-(-½)ⁿ]≤3

|(-½)ⁿ|=½ⁿ≤½<1，1-(-½)ⁿ恒>0，要不等式1≤⅔p[1-(-½)ⁿ]成立，p>0

¾≤1-(-½)ⁿ≤3/2

½p≤⅔p[1-(-½)ⁿ]≤p

要不等式1≤⅔p[1-(-½)ⁿ]≤3对于任意正整数n恒成立，只需

p≤3，½p≥1

解得2≤p≤3，p的取值范围为[2，3]