Question

请给出解题思路和过程，谢谢

Answer 1

Tex:

$x^2 - 42x +441 = (x-21)^2$\\
令 $t = x -21$, 那么\\
$\sin^2(\pi x) = \sin^2(\pi(t+21)) = \sin^2(\pi t)$ \\
根据三角公式 $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $\\
得到 $\sin^2(\pi t) = \frac{1 - \cos(2\pi t)}{2}$\\
这个时候可以使用泰勒公式或者等价无穷小等等\\（Taylor展开式几乎适用任何极限问题）\\
这里给出一种等价无穷小解法\\
$1 - \cos(x) \sim \frac{1}{2} x^2$\\
$\frac{t^2}{\frac{1 - \cos(2\pi t)}{2}} = \frac{2t^2}{1 - cos(2\pi t)}$\\
$\sim \frac{2t^2}{\frac{(2\pi t)^2}{2}} = \frac{1}{\pi^2}$

Answer 2

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追问

方便的话能不能请您告诉我一下您的解题思路，谢谢

追答

分子=(x-21)²
分母用等价无穷小代换
因为sin21π=0
所以分母等价于(πx)²

当极限趋向于21时，分母为一个常数，而分子为0，所以极限为0