已知函数f(x)=mex-lnx-1
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已知函数f(x)=me^x-lnx-1。当m≥1时,证明:f(x)>1
证明:
f(x)=me^x-lnx-1
定义域:(0,+∞)
f'(x)
=(me^x-lnx-1)'
=me^x-1/x
假设f'(x)=0的根是x0,
me^x0=1/x0..........①
下面用反证法证明:x0<1
假设x0>1,则1/x0=me^x0>1
∴x0<1,与假设矛盾
假设x0=1,则me=1,这与m≥1矛盾
∴0<x0<1
f''(x)=me^x+1/x²
∵x>0,m≥1
∴f''(x)=me^x+1/x²>0
∴f'(x)在(0,+∞)上单调递增
∴
0<x<x0时,f'(x)<0,f(x)单调递减
x>x0时,f'(x)>0,f(x)单调递增
∴f(x)在x=x0处取得最小值f(x0)
f(x0)
=me^x0-lnx0-1
=1/x0-lnx0-1(将①式代入)
由①式得,m=1/(x0e^x0)
∵m≥1
∴x0e^x0≤1
∴ ln(x0e^x0)≤ln1
∴lnx0+x0≤0
∴-lnx0-x0≥0
∴-lnx0≥x0
∴
f(x0)
=1/x0-lnx0-1
≥1/x0+x0-1
>2√[(1/x0)*x0]-1(均值不等式)
=2-1
=1
综上,
f(x)≥f(x0)>1
即,m≥1时,f(x)>1
得证。
证明:
f(x)=me^x-lnx-1
定义域:(0,+∞)
f'(x)
=(me^x-lnx-1)'
=me^x-1/x
假设f'(x)=0的根是x0,
me^x0=1/x0..........①
下面用反证法证明:x0<1
假设x0>1,则1/x0=me^x0>1
∴x0<1,与假设矛盾
假设x0=1,则me=1,这与m≥1矛盾
∴0<x0<1
f''(x)=me^x+1/x²
∵x>0,m≥1
∴f''(x)=me^x+1/x²>0
∴f'(x)在(0,+∞)上单调递增
∴
0<x<x0时,f'(x)<0,f(x)单调递减
x>x0时,f'(x)>0,f(x)单调递增
∴f(x)在x=x0处取得最小值f(x0)
f(x0)
=me^x0-lnx0-1
=1/x0-lnx0-1(将①式代入)
由①式得,m=1/(x0e^x0)
∵m≥1
∴x0e^x0≤1
∴ ln(x0e^x0)≤ln1
∴lnx0+x0≤0
∴-lnx0-x0≥0
∴-lnx0≥x0
∴
f(x0)
=1/x0-lnx0-1
≥1/x0+x0-1
>2√[(1/x0)*x0]-1(均值不等式)
=2-1
=1
综上,
f(x)≥f(x0)>1
即,m≥1时,f(x)>1
得证。
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