Question

已知α为锐角，cos（α+π/4）=√5/5. （1）求tan（α+π/4）的值 （2）求sin

已知α为锐角，cos（α+π/4）=√5/5.
（1）求tan（α+π/4）的值

（2）求sin（2α+π/3）的值

Answer 1

α为锐角，而cos（α+π/4）>0，因此可知α<π/4。
易知sin（α+π/4）=2√5/5，因此由倍角公式得sin（2α+π/2）=2*(2√5/5)*(√5/5)=4/5。而π/2<2α+π/2<π，因此cos（2α+π/2）=-3/5，再由半角公式可知tan（α+π/4）=sin（2α+π/2）/（1+cos（2α+π/2））=2。
由sin（2α+π/2）=4/5可知sin2α=4/5，cos2α=3/5，因此由和角公式可知sin（2α+π/3）=2/5+3√3/10。

Answer 2

sin(α+π/4)=√[1-cos²(α+π/4)]=2√5/5
tan(α+π/4)=sin(α+π/4)/cos(α+π/4)=2
∵n(α+π/4)=sinαcosπ/4+cosαsinπ/4=√2/2(sinα+cosα)=2√5/5
∴sinα+cosα=2√10/5，∵(sinα+cosα)²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+sin2α=8/5，∴sin2α=3/5，∴cos2α=√(1-sin²2α)=4/5，∴sin(2α+π/3)=sin2αcosπ/3+cos2αsinπ/3=3/5 · 1/2 + 4/5 · √3/2=3/10 + 2√3/5

Answer 3

解：（1）∵cos（α+π/4）=√5/5
∴ sin（α+π/4）=2√5/5或-2√/5
又∵α为锐角，即α∈（0，π/2）
∴α+π/4∈（π/4,3π/4）
∴sin（α+π/4）=2√5/5
∴tan（α+π/4）=sin（α+π/4）÷cos（α+π/4）
=2√5/5 ÷ √5/5
=2
（2）还在想……
∵sin2α=2sinα*cosα=2*（2√5/5）*（√5/5）=4/5
cos2α=2（cosα）²-1=-3/5
∴sin（2α+π/3）=sin2α*cosπ/3+cos2α*sinπ/3
=4/5*1/2+（-3/5）*（√3/2)
=2/5-3√3/10
=（4-3√3）/10 ………………（这不也可以不写，保留上式结果就可）

Answer 4

0<α<π/2
π/4<α+π/4<3π/4
cos（α+π/4）=√5/5
sin（α+π/4）=2√5/5
cosα-sinα=√10/5.......(1)
cosα+sinα=2√10/5.......(2)
(1)*(2)得
cos^2α-sin^2α=4/5
cos2α=cos^2α-sin^2α=4/5
cos2α=4/5
sin2α=3/5
tan（α+π/4）=sin（α+π/4）/cos（α+π/4）=2√5/5/√5/5=2
tan（α+π/4）=2
sin（2α+π/3）=1/2sin2α+√3/2cos2α
=1/2*3/5+√3/2*4/5
=(3+4√3)/10
sin（2α+π/3）=(3+4√3)/10

Answer 5