Question

高数格林公式问题。。计算I = ∫L [(x+4y)dy+(x-y)dx] / (x^2+4*y^2) 其中L为单位圆 x^2+y^2 = 1的正向

计算I = ∫L [(x+4y)dy+(x-y)dx] / (x^2+4*y^2) 其中L为单位圆 x^2+y^2 = 1的正向

Answer 1

取充分小的正数e，在单位圆内做椭圆x^2+4y^2=e^2，方向为逆时针方向，记为S+
S包围区域为D，其长轴为e，短轴为e/2，面积为pi*e^2/2。
原积分=∫L Pdx+Qdy
=∫L并S- Pdx+Qdy --∫S- Pdx+Qdy 第一个用格林公式
注意到ap/ay=aQ/ax
= 0+∫S+ Pdx+Qdy
=【∫S+ (x+4y)dy+(x--y)dx】/e^2 再用格林公式
=∫∫ D （1+1）dxdy/e^2
=2*D的面积/e^2
=pi。