如何过三角形内任一点做直线平分三角形的面积
刚开始认为这个做不来，对于三角形内任意一点，考虑该点靠近顶点的情况，无法做到平分面积。过后发现还是有解的，一开始就把问题想得太简单了。
为了使问题简单些，P在中线上的情况一目了然，以下讨论不在中线上的情况。
假设P为三角形内的一点，可以有过P的直线分别截线段AB、BC于E、F（如何合理的选择截取哪两个边，随着解题过程的逐渐深入就会说到），使S△BEF=1/2S△ABC。那么取BC的中线AD，由S△ABD=△BEF，可得A到直线DE的距离等于F到直线DE的距离，得AF//DE，所以AE/BE=DF/BD。接下来确定F的位置：由于P点已定，连接AP并延长交BC于M，则AP、PM、MD都是定值，依据梅涅劳斯定理AE/EB*BF/FM*MP/PA=1，即DF/BD*BF/FM*MP/PA=1
设DF=x，x/BD*(BD+x)/(MD+x)*MP/PA=1
MPx^2+(MP-PA)BDx-PA*BD*MD=0 ①
二次函数y=MPx^2+(MP-PA)BDx-PA*BD*MD之Δ>0与x轴有两个交点、开口向上、在y轴的截距为负。由于必须要x<=CD=BD（即F必须在BC上，非外部），画出图像后，得
当x=BD时，y>=0,这样保证其正数解不大于BD，即
MP*BD^2+(MP-PA)BD^2-PA*BD*MD>=0,MP*BD+(MP-PA)BD-PA*MD>=0,
2MP*BD>=PA(BD+MD),即2MP/PA>=(BD+MD)/BD ②
即在条件②下，方程①（BD、AP、PM、MD都是定值）的解为F点，直线PF即为题解。
以下研究条件②，先看AD与EF的交点K
由AF//DE，得BF/BD=AF/DE=KA/DK，即BF/BD=AK/KD
此式说明：F从D出发沿BC向C运动至C点时，BF/BD由1单调增至2，相应的K从AD的中点J出发沿AD向D运动至AK/KD=2（即重心G）点。此过程中，直线FK扫过的图形为△ALG内部所有的点（不包括边）（CL为中线），等价于P在中线AD、CL分割出的△ALG内部任意一点时，都可以找到如前所述的直线PF，此直线分别截线段AB、BC于E、F，平分三角形的面积。
因此连接AP并延长交CL于N、交BC于M
由梅涅劳斯定理AN/NM*MC/CD*DG/GA=1，即AN/NM*(BD+MD)/BD=2，(BD+MD)/BD=2NM/AN，代入条件②得MP/PA>=NM/AN
MP/PA+1>=NM/AN+1
MA/PA>=MA/AN
AN>=AP即P不超过N点，P在△ALG内部。这就是代数解得到的条件②的几何意义。
由此推断，对于△ABC内任意一点P，先用三条中线把三角形分割成6个区域，再看P落在哪个区域中，最后对照此图找到需要截取的两个边。
（完毕）
