Question

求大神证明:设f(x)在区间[a,b]上有一阶连续导数,记max|f(x)|=M(x归属于[a,b]),试证M<=f(x)在该区间上函...

求大神证明:设f(x)在区间[a,b]上有一阶连续导数,记max|f(x)|=M(x归属于[a,b]),试证M<=f(x)在该区间上函数值的平均值的绝对值 + f(x)的导函数的绝对值在该区间上的积分。先提前谢过,由于上不等式在手机上不易编辑,用话语表达,请谅解!

Answer 1

设f(x)在该区间上平均值为m。|f|最大值在c点取到。必存在区间内一点d，使得f(d)=m。显然，|f(c)-f(d)|<=f(x)的导函数的绝对值在该区间上的积分。所以，M=|f(c)|<=|f(d)|+|f(c)-f(d)|<=f(x)在该区间上函数值的平均值的绝对值 + f(x)的导函数的绝对值在该区间上的积分