Question

在三角形ABc中，AB=8cm，AC=4cm，角A的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过D点作DE垂直于AB，DF垂直AC，...

在三角形ABc中，AB=8cm，AC=4cm，角A的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过D点作DE垂直于AB，DF垂直AC，交AC的延长线于点F。求证BE=CF，求AE的长

Answer 1

证明：连接DC,DB
∵AD是角平分线，DF⊥AC,DE⊥AB
∴△ADF≌△ADE(角角边定理)
∴DF=DE
又∵D是BC垂直平分线上一点
∴ DB=DC
∴△DFC≌△DEB
∴BE=CF

由上结论，设AE为X，则BE=CF=8-X,因为AF=AE=4+(8-X)
则：X=4+(8-X)
X=6
所以AE=6

Answer 2

1，证明：连接BD,DC
因为角A的平分线与BC的垂直平分线相交于点D
所以BD=CD
角DAE=角DAC
因为DE垂直AB于E
所以角AED=角BED=90度
因为DF垂直AC的延长线于点F
所以角AFD=角CFD=90度
所以角AED=角AFD=90度
因为AD=AD
所以三角形AED和三角形AFD全等（AAS)
所以AE=AF
DE=DF
因为角BED=角CFD=90度
BD=CD（已证）
所以直角三角形BED和直角三角形CFD全等（HL)
所以BE=CF
2,因为AF=AC+CF=AC+BE
AB=AE+BE
AB=8cm
AC=4cm
所以AE=6cm

Answer 3

AD是角平分线
∠BAD=∠CAD
AD=AD
PF垂直AC PE垂直AB
△AFD全等△AED
BE=CF