Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。

Answer 1

解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．
（3）当MN旋转到图3的位置时，
AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

Answer 2

证明：
1、
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC＝∠BEC＝90
∴∠ACD+∠CAD＝90
∵∠ACB＝90
∴∠ACD+∠BCE＝180-∠ACB＝90
∴∠BCE＝∠CAD
∵AB＝AC
∴△ACD≌△CBE
∴DC＝BE，CE＝AD
∵DE＝CE+CD
∴DE＝AD+BE
2、
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC＝∠BEC＝90
∴∠ACD+∠CAD＝90
∵∠ACB＝90
∴∠ACD+∠BCE＝90
∴∠BCE＝∠CAD
∵AB＝AC
∴△ACD≌△CBE
∴DC＝BE，CE＝AD
∵DE＝CE-CD
∴DE＝AD-BE
3、
DE＝BE-AD