Question

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，1、若CF=3，CE=4，求AP和BD的长．

在加一个问！（2）若BD=2，求四边形PECF的周长！

Answer 1

解：（1）连接PC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，
∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD
∴AP=CP
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形
∴PC=EF
∵∠DCB=90°，
∴在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2=32+42=25，
∴EF=5
∴AP=CP=EF=5
∵CP=5，CF=3
又∵PF⊥BC，且BD为正方形ABCD对角线
∴三角形PCF为直角三角形
∴三角形PBF为等腰直角三角形
∴PF=根号5²-3²=4，即BF=PF=4
∴正方形ABCD的边长为BF+CF=4+3=7
∴BD=根号7²+7²=7根号2
（2）∵PE⊥CD,PF⊥BC
∴四边形PECF为矩形
∴四边形PECF的周长C=2CE+2CF=2x3+2x4=14

Answer 2

证明：连PC,(1)因为∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°

∴四边形PECF是矩形

∴PC=EF  PE=CF   PF=CE

PC=EF=√((CF^2)+(CE^2))=√((3^2)+(4^2))=5

因为AB=BC(正方形边长相等)

BP=BP

∠ABP=∠CBP=45°(BD是正方形的对角线)

△ABP≅△CBP(SAS)

∴AP=PC=5

因为PE⊥DC   ∠PDE=45°

∴DE=PE

∴DE=CF=3

同理PF=BF=CE=4

∴BC=3+4=7

∴BD=√(2)BC=7√(2)

(2)∴四边形PECF的周长=CE+DE+CF+FB=2×(3+4)=14

Answer 3

解：（1）连接PC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，
∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD
∴AP=CP
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形
∴PC=EF
∵∠DCB=90°，
∴在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2=32+42=25，
∴EF=5
∴AP=CP=EF=5
∵CP=5，CF=3
又∵PF⊥BC，且BD为正方形ABCD对角线
∴三角形PCF为直角三角形
∴三角形PBF为等腰直角三角形
∴PF=根号5²-3²=4，即BF=PF=4
∴正方形ABCD的边长为BF+CF=4+3=7
∴BD=根号7²+7²=7根号2
（2）∵PE⊥CD,PF⊥BC
∴四边形PECF为矩形

Answer 4

解：连接PC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，
∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD，
∴AP=CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PC=EF，
∵∠DCB=90°，
∴在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2=32+42=25，
∴EF=5，
∴AP=CP=EF=5．