Question

如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是_____

如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是_____
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Answer 1

解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB，
∴△ACD∽△DCB，
∴AC：DC=DC：BC，
又∵正方形CDEF的边长为1，
∵AC•BC=DC2=1，
∵AC+BC=AB，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
∴OD= 5 2 ，
∴AC+BC=AB= 5 ，
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2- 5 x+1=0．

Answer 2

解：设方程两根为x1、x2，连OD，
则OA=OB=OD=√((1^2)+((1/2)^2))=√(5)/2
x1+x2=AC+CB=AB=√(5)
x1•x2=AC•BC=(DC^2)=(1^2)=1
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是
(x^2)-(x1+x2)x+x1•x2=0
就是(x^2)-√(5)x+1=0

Answer 3

OB＝＝OA＝OE＝√5/2 OC＝1/2 AC＝﹙√5-1﹚/2 BC＝﹙√5+1﹚/2
方程是﹙x-﹙√5-1﹚/2 ﹚﹙x-﹙√5+1﹚/2﹚＝0
即 x²-√5x+1＝0