Question

设向量组α1, α2,α3线性无关

设向量组α1, α2,α3线性无关,令β1=α1+2α2, β2=3α1+2α3, β3=4α3-α1证明向量组β1,β2,β3线性无关

Answer 1

可以参考下面这两个例子：做法也是差不多的

设向量组α1,α2,α3线性无关,记β1=α1,β2=α2+2α3,β3=α1+2α2+3α3,证明β1,β2,β3也线性无关
此题可用反证法
证明：假设β1,β2,β3也线性相关
则 存在不全为0的k1,k2,k3使得 k1β1+k2β2+k3β3=0
得到k1α1+k2（α2+2α3）+k3（α1+2α2+3α3）=0
得到（k1+k3）α1+（k2+2k3）α2+（2k3+3k3）α3=0
k1,k2,k3不全为0 得到k1+k3,k2+2k3,2k3+3k3不全为0（反证法：假设k1+k3,k2+2k3,2k3+3k3全为0,则k1,k2,k3不全为0,与题意矛盾）
所以α1,α2,α3线性相关,与题意矛盾
所以β1,β2,β3线性无关

设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:向量组β1=α1+α2,β2=α1-α2,β3=α3线性无关
设 k1β1+k2β2+k3β3=0
即 k1(α1+α2)+k2(α1-α2)+k3α3=(k1+k2)α1+(k1-k2)α2+k3α3=0
又因为 向量组α1,α2,α3线性无关
所以 k1+k2=0,k1-k2=0,k3=0
故 k1=k2=k3=0
由线性无关定义 有向量组β1, β2, β3线性无关

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