Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．若A

B=2，∠ABC=120°，求AF的长
主要是这一问 若AB=2，∠ABC=120°，求AF的长
连接AE交圆O于F，我最后算出一个超不靠谱的答案，AF=3根号21/7，不知道对不对

Answer 1

F是哪一点？ 是∠BAC=120° 求AE的长吧？

1)连AD, 因为AB是圆的直径，所以BD⊥AD, 又AB=AC,
所以AD为角BAC的平分线 角DAB=角DAE
DE⊥AC, 则角DAE+角ADE=90º
又角DBA+角DAB=90º
所以：角ADE=角DBA
因此： DE为圆O的切线

2）角BAC=120º 则角DAB=角DAE=60º
角DBA=角DCA=30º
所以DE=1/2CD=1/2BD
BD=1/2*根号3*AB=根号3
DE=1/2*根号3
AD=1/2*AB=1
AE²=AD²-DE²=1-3/4=1/4
AE=1/2

追问

求BF长，F是连接BE与圆的交点
角BAC=120°
刚才打错了，sorry啊，我也算出来AE了，让求BF，我算的等于3/7倍的根号21，感觉很错误的样子
我明天中午看，谢啦

追答

延长DE, BA 相交于G， 过E点作EH⊥AG 交AG于H
连接AF
DE⊥AC 角BAC=120º
则角EGA=30º
三角形CDE∽三角形AEG
CD/AG=DE/AE=CE/EG
角BAC=120º 则角DAB=角DAE=60º
角DBA=角DCA=30º
所以DE=1/2CD=1/2BD
BD=1/2*根号3*AB=根号3=CD
DE=1/2*根号3
AD=1/2*AB=1
AE²=AD²-DE²=1-3/4=1/4
AE=1/2
所以AG=CD*AE/DE=(根号3*1/2）/（1/2根号3）=1
又CE=1/2根号3*CD=3/2
所以：EG=CE*AE/DE=3/2*1/2/(1/2根号3）=1/2*根号3
EH=1/4*根号3
AH=1/2AE=1/4
BH=AB+AH=2+1/4=9/4
又AF⊥BF
三角形AFB∽三角形HEB
EH/AF=BH/BF
BH*AF=EH*BF
9/4*AF=1/4*根号3*BF
AF=1/9*根号3*BF
在直角三角形ABF中
AB²=AF²+BF²=(1/9*根号3*BF)²+BF²=28/27*BF²=4
BF=3/7*根号21