Question

一道矩阵选择题

一道矩阵选择题我算的ABC都对啊。只有D不对，D分出来的行列式秩值为0可你逆，所以应该线性相关吗？

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Answer 1

判断是否相关是比较秩的关系，分离后的初等阵的秩等于原阵的秩，则线性无关，如果原阵的秩小于分离后阵的秩则相关。这里的原阵是指选项的向量组成的矩阵。分离的就是你写的，单个向量乘一个初等阵。这里逆的应用是，可逆，则秩相等，则无关。不可逆，则原阵的秩小于分离阵的秩，则相关

针对你这题就是右乘的初等阵可逆→无关；不可逆→相关

追问

谢谢帮助，不过我还没明白，有点糊涂了，题目给的原向量组不相关，那么它就已经满秩了吗？所以我分离开就相当于一个向量组乘以一个矩阵，矩阵的行列式不得0所以矩阵满秩，然后都满秩，最后线性无关，我是这么理解的..

我提高20分，麻烦帮再给我讲讲，谢谢

追答

恩恩，你理解的没问题，题目给出的向量组无关就是满秩，然后就是要你比较原向量组秩和选项新组成的秩的关系，相等，无关，不等就一定小于则，相关（相关无关的概念），你可以看一看教材，看两道例题就透彻了，这种情况还是基础概念没理解好，好好看一看，矩阵秩和相关的关系，矩阵的乘法，矩阵乘以一个可逆矩阵秩的关系，满意记得采纳我哦

追问

我分离出来的ABC选项里矩阵的行列式都不为0只有D为0。所以应该只有D线性相关对吗？可是答案选D，只有D线性无关的

追答

你分离出来的都不为0说明都不可逆，不可逆的话秩不等，秩不等所以相关。所以ABC相关。分离出来的行列式等于零，说明可逆，那么秩相等，则无关，选D是对的啊

不要混淆秩和行列式的关系，这种题，就是分离，判断秩的关系，可逆秩相等，无关。（不可逆秩不等，相关），你算分离出来的矩阵的行列式是否为0实际是为了判断是否可逆。千万不要混淆，一定记住，计算行列式是为了判断是否可逆。行列式是数，矩阵不是数

追问

越来越糊涂了，不是行列式不为0则矩阵可你逆吗....就像这道题和我问的那道题一样的是吗，这个我就理解，但和我问的确是两种答案..

追答

是的， |A|=0等价于不可逆，行列式不为0就可逆，没错的，你在做的过程中可以这么想，我上面纠正你是说如果是解答题，就必须在写解答的过程中说明是由秩判断的 。你后发的这题就是前面那题的基础班哈，两个原理一样啊，你再好好思考一下，两个原理一模一样的题目

追问

这道题和我问的那道题A几乎一个道理是吗？那为什么我问的那个A就不是线性无关呢....

追答

(α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1)
=(α1,α2,α3,α4)*
(1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1)
行列式
|1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1|
=1-1=0
所以
向量组线性相关.
你再计算一遍行列式，你按照第一行展开算行列式试试，你行列式算错了，终于找到问题所在了，一直以为你不理解方法:-D

追问

谢谢我再加，20分。。我算的是2。。

追答

对角线法则只适用于三阶行列式及以下，四姐行列式就不适用了，需要用余子式降解再做