Question

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2√3）、（4，0）、

如图，在平面直角坐标系中，A、C、D的坐标分别是（1，2√3）、（4，0）、（3，2√3），点M是AD的中点。（1）求证：四边形AOCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段OC和MC上运动，且保持∠MPQ=60°不变。设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：试探究当点P从点O首次运动到点E（3，0）时，Q点运动的路径长。
快

Answer 1

(1) A,D的纵坐标相同，AD与OC平行, 四边形AOCD是梯形
AO = √[(1 - 0)² + (2√3 - 0)²] = √13
CD = √[(3 - 4)² + (2√3 - 0)²] = √13
AO = CD, 四边形AOCD是等腰梯形

(2) M(2, 2√3)
为避免混淆，设PC = a, MQ = b, 最后再换为x, y.
PC = a, P(4 - a, 0)
MC的方程为: (y - 0)/( x - 4) = (2√3 - 0)/(2 - 4)
y = √3(4 - x)
设MP,PQ的倾斜角分别为U, V
tanU = (2√3 -0)/(2 - 4 + a) = 2√3/(a-2)
tanU = tan(V + 60°) = (tanV + tan60°)/(1 - tanV*tan60°) = (tanV + √3)/(1 - √3tanV)
tanV = √3(4-a)/(4+a)
PQ的方程: y = [√3(4-a)/(4+a)](x +a -4)
联立PQ,MC的方程, Q((a² - 4a + 32)/8, √3(4a - a²)/8)
MQ² = [(a² - 4a + 32)/8 - 2]² + [√3(4a - a²)/8 - 2√3]²
= 67(a² - 4a + 16)²/64
MQ = √67(a² - 4a + 16)/8 (易证，0<a<4时，a² - 4a + 16>0)
y = √67(x² - 4x + 16)/8

(3) E(3, 0), a = 1
Q((a² - 4a + 32)/8, √3(4a - a²)/8)即(29/8, 3√3/8)
P与原点重合时, PC = a = 4，PQ的斜率为tanV = √3(4-a)/(4+a) = 0, 即PQ与x轴重合, Q与C重合.
Q点运动的路径=CQ=√[(29/8 - 4)² + (3√3/8 - 0)²] = 9/16

追问

最后一题错的

Answer 2

前两问他回答的是对的，最后一问我的做法是这样的：
已经算出了PC和MQ的关系式，那么很容易就能求出PC和QC的关系式，然后用配方法求出QC最大值并算出此时PC长。P到E（3,0）时PC=1，带入关系式，求出此时QC长，发现比最大值小，说明点Q先向M运动，然后又回头运动。所以Q经过的路线长就是QC最大值再加上最大值与PC等于1时QC长的差。