Question

怎么利用十字相乘法来分解因式？

如何利用十字相乘法来分解因式？ 最好有图解和文字说明。。

Answer 1

十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。　
　　十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2），在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q）χ+pq=（χ+p）（χ+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说：把x^2+7x+12进行因式分解. .
　　上式的常数12可以分解为3×4，而3+4又恰好等于一次项的系数7，所以上式可以分解为：x^2+7x+12=(x+3）(x+4） .
　　又如：分解因式：a^2+2a-15，上式的常数-15可以分解为5×（-3）.而5+(-3）又恰好等于一次项系数2，所以a^2+2a-15=(a+5）(a-3）. 十字相乘法讲解：
　　x^2-3x+2=如下：
　　x -1
　　╳
　　x -2
　　左边x乘x= x^2
　　右边-1乘-2=2
　　中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x
　　上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】
　　就等于（x-1）*（x-2）
　　x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）
编辑本段
通俗方法

方法
　　先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写
　　1 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
　　......
　　依此类推
　　直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为（ax+b)(cx+d)
例
　　：（^2代表平方）
　　a^2x^2+ax-42
　　首先，我们看看第一个数，是a↑2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a ×+？）×（a ×+？）
　　然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式×两项式。
　　再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
　　首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。
　　然后，在确定是-7×6还是7×-6.
　　（a×+(-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略）
　　得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a
　　再算：
　　（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42
　　正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.
编辑本段
例题解析

例1
　　把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
　　别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！
　　2=1×2=2×1；
　　分解常数项：
　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　╳
　　2 3
　　1×3+2×1=5 ≠-7
　　1 3
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×3=7 ≠-7
　　1 -1
　　╳
　　2 -3
　　1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
　　1 -3
　　╳
　　2 -1
　　1×(-1)+2×(-3)=-7
　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)
　　一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
　　a1 c1
　　╳
　　a2 c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
　　ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
　　像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
　　2 1
　　╳
　　3 -5
　　2×(-5)+3×1=-7
　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
　　指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
　　1 -3
　　╳
　　1 5
　　1×5+1×(-3)=2
　　所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
　　1 2
　　╳
　　5 -4
　　1×(-4)+5×2=6
　　解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).
　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
　　问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
　　解 (x-y)(2x-2y-3)-2
　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2
　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
　　1 -2
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×（-2）=－3
　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
　　=(x-y-2)(2x-2y+1).
　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
　　x^2+2x-15
　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）
　　(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。
　　=(x-3）(x+5）
　　总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
　　kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
　　a b
　　╳
　　c d
　　教学重点和难点
　　重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；
　　难点：灵活运用十字相乘法分解因式.
编辑本段
解决两者之间的比例问题

原理
　　一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
　　则：[A*M+B*（S－M）]/S=C
　　A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C
　　M/S=(C-B)/(A-B)
　　1-M/S=(A-C)/(A-B)
　　因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)
　　上面的计算过程可以抽象为：
　　A ………C-B
　　……C
　　B……… A-C
　　这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰
使用时的注意事项
　　第一点：用来解决两者之间的比例问题。
　　第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
　　第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
例题
　　某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？
　　十字相乘法
　　解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
　　本科生：-2%………8%
　　…………………2%
　　研究生：10%……… -4%
　　本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。
　　去年的本科生：7500×2/3=5000
　　今年的本科生：5000×0.98=4900
　　答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。
　　鸡兔同笼问题
　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
　　十字相乘法
　　解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚
　　鸡：70……… …46
　　……………………94
　　兔：140……… …24
　　鸡：兔=46：24=23：12
　　答：鸡有23只，兔有12只。
编辑本段
十字相乘法解一元二次方程

例1
　　把2x^2-7x+3分解因式.
　　分析：先 分解二次项系数，
　　分别写在十字交叉线的左上角和左下角，
　　再分解常数项，
　　分别写在十字交叉线的右上角和右下角，
　　然后交叉相乘，
　　求代数和，使其等于一次项系数.
　　分解二次项系数（只取正因数）：
　　2=1×2=2×1；
　　分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.
　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
　　1 1
　　╳
　　2 3
　　1×3+2×1=5
　　1 3
　　╳
　　2 1
　　1×1+2×3=7
　　1 -1
　　╳
　　2 -3
　　1×（-3）+2×（-1） =-5
　　1 -3
　　╳
　　2 -1
　　1×（-1）+2×（-3） =-7
　　经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
　　解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.
　　一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0），
　　如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，
　　即a=a1a2，
　　常数项c可以分解成两个因数之积，
　　即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，
　　排列如下：
　　a1 c1
　　╳
　　a2 c2
　　a1c2+a2c1
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，
　　若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，
　　即a1c2+a2c1=b，
　　那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，
　　即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.
例2
　　把6x^2-7x-5分解因式.
　　分析：按照例1的方法，
　　分解二次项系数6及常数项-5，
　　把它们分别排列，
　　可有8种不同的排列方法，
　　其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7
　　是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
　　解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）
　　指出：通过例1和例2可以看到，
　　运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，
　　往往要经过多次观察，
　　才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
　　对于二次项系数是1的二次三项式，
　　也可以用十字相乘法分解因式，
　　这时只需考虑如何把常数项分解因数.
　　例如把x^2+2x-15分解因式，
　　十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2
　　所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.
例3
　　把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
　　分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，
　　把-8y^2看作常数项，
　　在分解二次项及常数项系数时，
　　只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，
　　经过观察，选取合适的一组，
　　即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6
　　解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).
　　指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
　　把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
　　分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，
　　只有先进行多项式的乘法运算，
　　把变形后的多项式再因式分解.
　　问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
　　答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
　　解 (x-y)（2x-2y-3）-2
　　=(x-y)[2(x-y)-3]-2
　　=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
　　1-2╳ 21
　　1×1+2×（-2）=－3
　　=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
　　=(x-y-2）（2x-2y+1）.
　　指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，
　　这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15
　　分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，
　　可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5），
　　其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =(x-3）(x+5）
　　总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；
　　常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.
　　因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
　　x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
　　如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，
　　那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d
　　（1） (x+3）(x-6）=-8 （2） 2x^2+3x=0
　　（3） 6x^2+5x-50=0 （4）x^2-2( + )x+4=0
　　（1）解：（x+3）(x-6）=-8 化简整理得
　　x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）
　　(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）
　　∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　（2）解：2x^2+3x=0
　　x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）
　　∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）
　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
　　（3）解：6x^2+5x-50=0
　　（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。
　　（4）解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2）(x-2 )=0
　　∴x1=2,x2=2是原方程的解。
　　例题x^2-x-2=0
　　解：（x+1）(x-2）=0
　　∴x+1=0或x-2=0
　　∴x1=-1,x2=2
　　（附：^是数学符号）

Answer 2

例1
.十字相乘法的图解及待定系数
已知二次三项式2x
2
-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值.
分析
：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：
8-5=3=-m
解：
2x
2
-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x
2
+3x-20
∴-m=3
m=-3
（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有什么新东西——
像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？)
例
2
.因式分解与系数的关系
若多项式a
2
+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有(
)
a.5个
b.6个
c.8个
d.4个
分析
：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数)
因为16=2×8，16=(-2)×(-8)
16=4×4，16=(-4)×(-4)
16=1×16，16=(-1)×(-16)
所以k=±10，±8，±16
答案
：b
(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大)
例
3
.分组分解后再用十字相乘
把2x
2
-8xy+8y
2
-11x+22y+15分解因式
解：
原式=(2x
2
-8xy+8y
2
)-(11x-22y)+15
=2(x-2y)
2
-11(x-2y)+15
=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]
=(x-2y-3)(2x-4y-5)
说明
：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.
例
4
.换元法与十字相乘法
把(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-6分解因式
分析
：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x
2
+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x
2
+x)的一个二次三项式(或设x
2
+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u
2
+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.
解
：(x
2
+x+1)(x
2
+x+2)-6
=[(x
2
+x)+1][(x
2
+x)+2]-6
=(x
2
+x)
2
+3(x
2
+x)-4
=(x
2
+x+4)(x
2
+x-1)
说明
：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是c.
(上一次，我们说到的整体分析又用到了，还记得我们在哪提到它的？对，在分组分解法中，试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析)
例
5
.因式分解与十字相乘法
已知(x
2
+y
2
)(x
2
-1+y
2
)=12
求：
x
2
+y
2
的值
解：
(x
2
+y
2
)(x
2
-1+y
2
)=12
(x
2
+y
2
)[(x
2
+y
2
)-1]-12=0
(x
2
+y
2
)
2
-(x
2
+y
2
)-12=0
[(x
2
+y
2
)-4][(x
2
+y
2
)+3]=0
∵x
2
+y
2
≥0
∴(x
2
+y
2
)+3≠0
∴(x
2
+y
2
)-4=0
∴x
2
+y
2
=4
说明
：我们把(x
2
+y
2
)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法，但通过这个题，我们可以发现，对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.
(说“十字相乘”是冷饭，一点也不为过，炒完冷饭，尝尝味道怎样吧).
返回主题
[强化练习]
1.把下列各式分解因式
(1)x-x
2
+42
(2)
(3)a
2n
+a
4n
-2a
6n
(4)(x-y)
2
+3(x
2
-y
2
)-4(x+y)
2
(5)x
2
-xy-2y
2
-x-y
2.已知：x
2
+xy-2y
2
=7,求：整数x、y的值
答案与提示：
1.(1)-(x-7)(x+6)
(2)
(3)-a
2n
(a
n
+1)(a
n
-1)(2a
2n
+1)
(4)-2y(5x+3y)
提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”，如设x-y=m，x+y=n，则原式化为m
2
+3mn-4n
2
(5)(x+y)(x-2y-1)
提示：可参考“疑难精讲例3”
2.
提示：将已知条件的左边分解因式得：
(x+2y)(x-y)=7
∵x、y都为整数
∴有