Question

等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且|BD|=|1/3BC|,|CE|=|1/3CA|,AD,BE相交于点P,求证:AP垂直CP。

Answer 1

取AB上一点F，使3AF=AB,这样就形成了十分对称的图形，
设BE与CF交于M,AD与CF交于N。
第一步，
∠PNM
=∠PAC+∠FCA
=∠PAC+∠BAD
=∠BAC
=60度。
第二步，
过F作FG//AC交BE于G，
则GM/ME
=FM/MC
=FG/EC
=FG/[(1/2)AE]
=4/3，
又FG/AE
=BG/BE
=2/3,
所以BM/ME
=[2+(4/7)]/[1-(4/7)]=6，
即BM=6ME。
又BP/PE
=MC/MF
=3/4,
所以容易得BP:PM:ME=3:3:1，
根据图形的对称性，得
CM:MN:NF=3:3:1，
并且MN=PN，
所以
PN:NC=3:(3+3)=1:2，
又∠PNC=60度，
所以可以得到
∠APC=90度。
即AP⊥PC。
得证。