Question

实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数。

Answer 1

解答：题目中a,b,c,d中至少有一个是负数的情况较多,而其反面却只有一种情况,故考虑用反证法证明.
证明：假设a,b,c,d全部是非负数,
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
又∵ad+bc≥0,ac+bd≤1,
这与已知条件ac+bd＞1矛盾,假设错误.
故a,b,c,d中至少有一个是负数

Answer 2

证明：
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
∵ac+bd>1,
(ac+bd)+(ad+bc)=1
所以，ad+bc<0
这说明a、b、c、d中必然至少有一个数是负数

Answer 3

证明：∵a+b=c+d=1
∴(a+b)(c+d)=1
ac+ad+bc+bd=1
ad+bc=1-(ac+bd)
∵ac+bd>1
∴ad+bc＜0
∴a,b,c,d中至少有一个是负数

Answer 4

反证法：
假设a,b,c,d>=0
则ac+bd=(a+b)(c+d)-bc-ad=1-bc-ad=1-(bc+ad)>1
则bc+ad<0,与假设不符，假设不成立
所以a,b,c,d其中至少有一个是负数

Answer 5

a+b=c+d=1
(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd=1
又ac+bd>1则ad+bc<0
ad与bc至少有一为负
则a,b,c,d中至少有一个是负数