Question

在三角形ABC 中，E，F 分别是 AC AB 的中点，且3AB=2AC ，若BE/CF <t恒成立，则 的t最小值为（ ）

详细过程

Answer 1

解：根据题意画出图形，如图所示：
∵3AB=2AC，
∴AC=3 2 AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=1 2 AC，AF=1 2 AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（3 4 AB）2-2AB•3 4 AB•cosA=25 16 AB2-3 2 AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（1 2 AB）2+（3 2 AB）2-2•1 2 AB•3 2 AB•cosA=5 2 AB2-3 2 AB2cosA，
∴BE2 CF2 =25 16 AB2-3 2 AB2cosA 5 2 AB2-3 2 AB2cosA =25 16 -3 2 cosA 5 2 -3 2 cosA ，
∴BE CF = 25 16 -3 2 cosA 5 2 -3 2 cosA = 1-15 40-24cosA ，
∵当cosA取最小值时，BE CF 比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时BE CF 达到最大值，最大值为 1-15 40+24 =7 8 ，
则BE CF ＜t恒成立，t的最小值为7 8 ．

Answer 2

7╱8。用向量计算，用向量AB和向量AC表示出EB、FC，根据余弦范围求出比值范围，t大于范围的最大值即可（手机党，符号不给力，只能这样了，自己再多算一会儿就出来了！）

Answer 3

解：∵3AB=2AC，∴，设AB=2，AC=3。则：
BE=1/2AB=1,CF=1/2AC=3/2
∴BE/CF=2/3
∴t>2/3

Answer 4

几乎感觉很好看