Question

看看我做的这道定积分哪里错了？正确答案写在最后一行了，数学计算题是第一行

Answer 1

第二类换元法要求x=φ(t)的时候原来x的上下限[a,b]有对应的t的上下限[α,β],即a=φ(α),b=φ(β).你的做法里面没有改变上下限,第一个错误犯了.
其次,我们用微积分基本定理是要把上下限分别代入原函数里面去减,即∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)是f(x)的一个原函数.现在你直接把0和4代入f(x)=t*(-lnt)里面求,而不是代入t*(-lnt)的原函数里面,第二个错误犯了.

这题其实根本就不用x=-lnt,∫xe^(-x)dx很好求的好吗.令x=-t,则dx=-dt
∫xe^(-x)dx
=∫(-t)e^td(-t)
=∫te^tdt
=te^t-∫e^tdt
=te^t-e^t+C
当x从0到4变化时,t从0到-4变化
原式=4+[-4*e^(-4)-e^(-4)-0*1+1]
=5-5e^(-4)

Answer 2

两个大错误

1

这个积分没算对

2

既然把变量x替换成了t，那么积分的区间也就不再是0到4. 因为x=-ln(t)所以t=1/(e^x).x=0，t=1;x=4,t=1/(e^4)。所以新区间就是