Question

已知双曲线x²／9--y²／16=1，过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则

已知双曲线x²／9--y²／16=1，过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则|MF|/|PQ|的值为——

Answer 1

填空题？？

在几何画板上算出是5/6 

肯定的 

但是真算就麻烦了

解方程

Solve[x^2/9 - y^2/16 == 1 && y == k*(x - 5), {x, y}]

结果是

x = (3 (15 k^2 - 16 Sqrt[1 + k^2]))/(-16 + 9 k^2), 

 

 y = -5 k + (45 k^3)/(-16 + 9 k^2) - (48 k Sqrt[1 + k^2])/(-16 + 9 k^2)

或者是

 x = (   3 (15 k^2 + 16 Sqrt[1 + k^2]))/(-16 + 9 k^2), 

  y = -5 k + (45 k^3)/(-16 + 9 k^2) + (48 k Sqrt[1 + k^2])/(-16 + 9 k^2)

解完了

算出

中点是

((45 k^2)/(9 k^2-16),(80 k)/(9 k^2-16))

PQ的长度是

96*(k^2+1)/(9 k^2-16)

则

中点到M的直线是y=-1/k+125*k/(9k^2-16)

横坐标是 125k^2/(9k^2-16)

则MF是125k^2/(9k^2-16)-5 通分是80*(k^2+1)/(9 k^2-16)

最后一比

80/96

哈哈哈是5/6

呼呼，终于做出来了，太难算了

花了我3张A4纸 

还没完

通过进一步的研究

一些极限

得出了一个很牛的公式

什么情况的都可以算 过程太过复杂。就不说了。总之结论是

已知双曲线x²／a--y²／b=1，过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则|MF|/|PQ|的值为——2a*Sqrt[(b*c^2)/a-b]/(b*c)