Question

如图,已知反比例函数y=2/x(x>0)的图像与一次函数y=kx+b的图像交于A、B两点,点B的横坐标为4

点C的坐标为（1,1/2），连接AC、BC，AC平行于Y轴。
（1）求一次函数的解析式；
(2)现有一个直角三角板让它的直角顶点P在反比例函数图像上的A、B之间的部分滑动（不与A、B重合），两直角边始终平行于X轴Y轴，且与线段AB交于M,N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CAB总相似，试说明判断理由；
（3）在（2）的条件下，请探究是否存在点P使得MN:AB=1:3，若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由
图片不好发，明天要用 很急！！

Answer 1

（1）因为B在反函数的图像上，因此就有B点的坐标是（4，1/2），因为A在反函数图像上，且AC和y轴平行，因此A的横坐标是1。根据反比例函数的表达式可以得出A点的坐标是（1，2）。A、B都在直线y=kx+b上，把A、B的坐标代入，求得直线的表达式是：y=-0.5x+2.5，这个也就是该一次函数的解析式。
（2）因为B点的纵坐标是1/2，和C点一样，因此就有BC和x轴平行；又已经得知AC和y轴平行，所以有AC和BC垂直。因为直角三角形的两条直角边在顶点沿着AB曲线运动的时候时刻保持和两条坐标轴平行，且线段MN和AB时刻保持重合，因此就有△PMN的三个角和△CAB的三个角时刻相等，因此P点在滑动过程中△PMN与△CAB总相似。
（3）这一小问的计算量很大，不过可以提供个思路。
首先假设存在这个样的一个点P满足条件要求，然后在根据相似三角形相似的性质
可以得出S△PMN=1/9S△ABC。延长MP交BC在D点，延长NP交AC在E点。
然后求出S△ANE和S△DMB的表达式，再求出矩形PECD的面积表达式S，
最后看：S△ABC=S△ANE+S△DMB-S△PMN+S，是否成立。要是成立P点就存在，要是不成立P点就不存在。

Answer 2

P点存在P（2,1）