Question

在三角形ABC中，点D在AC上，DA=DB,∠C=∠DBC,以AB为直径的圆O交AC于点E,F是圆O的点，且弧AF=弧BF,

求证：BC是圆O的切线；若sinC=3/5,AE=3根下2，求sinF的值和AF的长

Answer 1

（1）连接BE

∵DA=DB

∴可设∠DAB=∠ABD=x，∠C=∠DBC=y，

∵AB为⊙O直径

∴∠AEB=90°

∴x+x-∠ABE=90°，y+y+∠ABE=90°

∴2x+∠ABE=2y+∠ABE

∴2x-2y=2∠ABE

∴x-y=∠ABE

∴∠ABE=∠C=∠DBC

∵∠ABE+∠BAE=90°

∴∠ABD+∠DBC=90°

∴∠ABC=90°

∴AB⊥BC

∴BC为⊙O切线

（2）∵∠F=∠ABE，∠ABE=∠C

∴sinF=sinC=3/5

连接BF

∵弧AF=弧BF

∴AF=BF

∵sin∠ABE=3/5，AE=3√2

∴AB=5√2

∵AB为⊙O直径

∴∠AFB=90°

∵AF=BF，AB=5√2

∴AF=5

自己做的。第一题可能麻烦点，但是第二题的那部分可以直接做

Answer 2

第一问：前三个条件可得：AD=BD=CD，所以三角形ABC是直角三角形，角B为90度，所以BC是圆O的切线。
第二问：因为AB为直径，且弧AF=弧BF，所以角F为直角，所以sinF的值是根下2；因为sinC=3/5，AE=3根下2，所以AB=5根下2，根据三角函数公式解得：AF=5

Answer 3

- -第一题完全不用那么复杂。
∵DA=DB
∴∠DAB=∠ABD
∵∠C=∠DBC，∠C+∠DBC+∠DAB+∠ABD=180°（三角形内角和）
∴∠ABD+∠DBC=90°
∵F在圆上
∴BC是○O的切线