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如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点过O作直线MN∥BC设MN交∠BCA的平分线于点E交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是...
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由. 展开
(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由. 展开
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过点C作CG垂直于MN;过点E作EH垂直于BC,EI垂直于AC;
过点F作FJ垂直于BC,FK垂直于AC
(1)因为CE是∠BCA的平分线,所以EH=EI
因为CF是∠BCA外角的平分线,所以FJ=FK
因为MN平行于BC,所以EH=FJ,所以EI=FK
而S△EOC=EI*OC,S△FOC=FK*OC,所以S△EOC=S△FOC
而S△EOC=CG*OE,S△FOC=CG*OF,所以OE=OF
(2)若四边形AECF是正方形
则O为AC的中点,且AC垂直于EF,又MN平行于BC
所以∠BCA为直角
又S△EOC=S△EBC,所以OB=OC,则AB=2BC
所以,当点O运动到AC的中点,
且△ABC为∠BCA为直角,∠ABC为60°,∠BAC为30°的直角三角形时
四边形AECF是正方形
(3)不会,因为EC是∠BCA的平分线,EC永远不可能平分∠BCA
所以,四边形BCFE不会是菱形
过点F作FJ垂直于BC,FK垂直于AC
(1)因为CE是∠BCA的平分线,所以EH=EI
因为CF是∠BCA外角的平分线,所以FJ=FK
因为MN平行于BC,所以EH=FJ,所以EI=FK
而S△EOC=EI*OC,S△FOC=FK*OC,所以S△EOC=S△FOC
而S△EOC=CG*OE,S△FOC=CG*OF,所以OE=OF
(2)若四边形AECF是正方形
则O为AC的中点,且AC垂直于EF,又MN平行于BC
所以∠BCA为直角
又S△EOC=S△EBC,所以OB=OC,则AB=2BC
所以,当点O运动到AC的中点,
且△ABC为∠BCA为直角,∠ABC为60°,∠BAC为30°的直角三角形时
四边形AECF是正方形
(3)不会,因为EC是∠BCA的平分线,EC永远不可能平分∠BCA
所以,四边形BCFE不会是菱形
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1 因为EF//BC,所以∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCG,
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO,则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC,则OF=OC,所以OE=OF。
2 要四边形AECF为正方形,先要求AECF为矩形,
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理,
因为OE=OF,只要OA=OC,则AECF为平形四边形,
又因为∠ECF=90°,则AECF为矩形。
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理,
只要AC⊥EF,则AECF为正方形,
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到,必须O为AC中点,而且要满足∠BCA=90°时,
四边形AECF才为正方形。
3 因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形,则EF必大于CF。
而菱形必须四边相等,所以四边形BCFE肯定不会是菱形。
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO,则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC,则OF=OC,所以OE=OF。
2 要四边形AECF为正方形,先要求AECF为矩形,
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理,
因为OE=OF,只要OA=OC,则AECF为平形四边形,
又因为∠ECF=90°,则AECF为矩形。
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理,
只要AC⊥EF,则AECF为正方形,
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到,必须O为AC中点,而且要满足∠BCA=90°时,
四边形AECF才为正方形。
3 因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形,则EF必大于CF。
而菱形必须四边相等,所以四边形BCFE肯定不会是菱形。
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(1)因为MC平分叫BCA
所以叫BCM=叫ACE
因为MN//BC
所以叫CEN=叫BCM
所以叫CEN=叫ACE
所以OE=OC
下面也是
最终得OF=OC
所以OE=OF
所以叫BCM=叫ACE
因为MN//BC
所以叫CEN=叫BCM
所以叫CEN=叫ACE
所以OE=OC
下面也是
最终得OF=OC
所以OE=OF
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第二问准确回答应该这样:O为AC的中点,三角形ABC为直角三角形且角C等于90度就可以了。
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