Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向中点A运动，同时动点Q从点A出发沿着对角线

AC向中点C运动。过点P做PE平行DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动。设PE=y；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE 为梯形
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由

Answer 1

1)
因为 AD=BC=4, CD=AB=3, PD=t，
所以 AC=5，AP=4-x
所以 PE=y=CD*AP/AD=3*(4-x)/4=3-3x/4
AE=AC*AP/AD=5*(4-x)/4=5-5x/4
(2)
若四边形PQBE 为梯形，则 PQ//BE
因此 三角形APQ相似三角形CBE
所以 AP/BC=AQ/CE
因为 CE=AC-AE=5-(5-5x/4)=5x/4
于是 (4-x)/4=t/(5x/4)=4/5
解得 x=4/5
故当运动时间4/5 秒时，PQBE是梯形

(3)
要使PQE为等腰三角形，那么
a) PQ=EQ
显然，只有AE>AQ 时，才有可能 PQ=EQ成立。
因为 APE 是直角三角形，PQ=EQ，Q是AE的中点
2x=5*(4-x)/4 得 x=20/13

b) PE=EQ
则 3-3x/4=5-5x/4-x 及 3-3x/4=x-5+5x/4
解得 x=4/3 及 x=8/3

c) PQ=PE
显然，只有AE>AQ 时，才有可能 PQ=PE成立。
若PQ=PE , 则有 (EQ/2)/CD=PE/AC
(5-5x/4-x)/2=3*(3-3x/4)/5 解得 x=28/27
因此，当x=20/13, 4/3, 8/3, 28/27 时，PQE是等腰三角形。

Answer 2

（1）PD=AQ=x，
当PQ∥BE时，EC=5x/4，AP=4-x，
由△PAQ∽△BCE，
∴（4-x）/4=x/（5x/4)
x=4/5.
（1）①如果EQ=PE=y，
由CE=5x/4，AQ=x，
∴EQ=5-x-5x/4=5-9x/4
PE/PA=3/4
PE=3（4-x）/4
得5-9x/4=3（4-x）/4
x=4/3.
②如果PE=PQ=y，
过P作PH⊥AC于H，
由QH=EH=（5-x-5x/4)/2=（5-9x/4)/2
PE=y=（12-3x）/4
EH/y=3/5
（5-9x/4）/2：（12-3x）/4=3:5
x=28/27.。
③如果PQ=EQ，
过Q作QM⊥PE于M，
由QE=5-9x/8，EH=y/2=（12-3x）/8
QE/EH=5/3
x=60/39.

Answer 3

（1）PD=AQ=x，
当PQ∥BE时，EC=5x/4，AP=4-x，
由△PAQ∽△BCE，
∴（4-x）/4=x/（5x/4)
x=4/5.
（1）①如果EQ=PE=y，
由CE=5x/4，AQ=x，
∴EQ=5-x-5x/4=5-9x/4
PE/PA=3/4
PE=3（4-x）/4
得5-9x/4=3（4-x）/4
x=4/3.
②如果PE=PQ=y，
过P作PH⊥AC于H，
由QH=EH=（5-x-5x/4)/2=（5-9x/4)/2
PE=y=（12-3x）/4
EH/y=3/5
（5-9x/4）/2：（12-3x）/4=3:5
x=28/27.。
③如果PQ=EQ，
过Q作QM⊥PE于M，
由QE=5-9x/8，EH=y/2=（12-3x）/8
QE/EH=5/3
x=60/39.