Question

（这道题是计算对坐标的曲面积分）∫∫[f（x，y，z）+x]dydz+[2f（x，y，z）+y]dzdx+[f（x，y，z)+z]dxdy

其中f(x,y,z)为连续函数，Σ是平面x—y+z=1在第四卦限部分的上侧，上式中∫∫下面是Σ，如果不用两类曲面积分的联系该怎么做？能否做出来？请给出详细步骤
急！！！诸位高手赛赛吧！

Answer 1

[解题提示]利用两类曲面积分的关系，将其统一成一种形式后再计算
解：平面x-y+z=1上侧的法向量为n=（1，-1,1），n的方向余弦为cosα=1/√3,cosβ= -1/√3,cosγ=1/√3,由两类曲面积分之间的联系可得
∫∫Σ[f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy
=∫∫Σ（f+x）cosαdS+(2f+y)cosβdS+(f+z)cosγdS
=∫∫Σ[(f+z)-(2f+y)+(f+z)]dxdy
=∫∫Σ（xy+z）dxdy
=∫∫Σ1*dxdy
=∫∫(Dxy) dxdy=1/2
解答完毕！（其中最后的Dxy表示为：∫∫ 下方的投影区域）
（注：该解答过程仍使用的是两类曲面积分的联系）

Answer 2

运用第一，第二曲面积分间的联系不是很快么？原积分可以直接等于根号3分之（平面x-y+z=1在第四象限的面积）=1/8

追问

能给出详细步骤吗？非常感谢！

追答

平面x-y+z=1的法向量n=（1，-1,1）所以，它的方向余弦cosa=1/√3，cosb=-1/√3，cosc=1/√3。由第一类曲面积分和第二类曲面积分间关系的：原积分=∫∫[（f（x，y，z）+x）*（1/√3）+（2f（x，y，z）+y）*（-1/√3）+（f（x，y，z）+z）*（1/√3）]dS=（1/√3）∫∫（x-y+z）dS=（1/√3）∫∫dS=（1/√3）*（1/2）*（1/√2）*（1/√2）*（√3/2）=1/8