Question

微积分二重积分问题3

计算∫∫ （sinx/x）dxdy ，其中D是由直线y=x ，y=x^2所围成的区域

Answer 1

令x=x^2，得到x=0和x=1，
所以积分区域x是在0到1之间，而且在此区域里，x >x^2
显然不能直接对(sinx/x) dx进行积分，
所以先对dy进行积分
∫∫ （sinx/x）dxdy
=∫(上限1,下限0)（sinx/x）dx ∫(上限x,下限x^2) dy
=∫(上限1,下限0) (sinx/x)*(x -x^2)dx
=∫(上限1,下限0) sinx - x * sinx dx
= [ -cosx + x * cosx -sinx ] (上限1,下限0)
代入上下限，
得到
∫∫ （sinx/x）dxdy
= 1 - sin1

Answer 2

∫∫ D（sinx/x）dxdy
=∫[0,1]（sinx/x）dx∫ [x^2,x]dy
=∫[0,1](sinx-xsinx)dx
=∫[0,1](x-1)dcosx
=(x-1)cosx|[0,1]-∫[0,1]cosxdx
=1-sin1