Question

微积分二重积分问题4

计算∫∫|y-x^2|dxdy , 其中 ，D: -1≤x≤1， 0≤y≤1

计算I=∫∫（xy+y^2+1）dxdy，其中D=｛（x，y）|x^2 +y ^2 ≤4｝

Answer 1

1)分区域即可,主要是去绝对值,y-x^2>=0,=>y>=x^2,注意到y=x^2为开口向上的抛物线,将矩形区域分割成上下的两块,下包括左右的两小块,这样分区域去被积函数的绝对值符号,成两个二重积分,就完成了!
2)y ^2 ≤4-x^2 同理

Answer 2

∫∫|y-x^2|dxdy=[-1,1]∫dx[0,x^2]∫(x^2-y)dy+[-1,1]∫dx∫[x^2,1](y-x^2)dy
=[-1,1]∫x^4/2dx+[-1,1]∫(1/2-x^2-x^4/2)dx
=x^5/10 | [-1,1] + (x/2-x^3/3-x^5/10 ) | [-1,1]
=1/5+2/15
=1/3
∫∫(xy+y^2+1)dxdy=[0,2π]∫dθ[0,2]∫(cosθsinθp^2+(sinθ)^2p^2+1)pdp
=[0,2π]∫(4sin2θ-4cos2θ+20)dθ
=(20θ-2sin2θ-2cos2θ) | [0,2π]
=40π