Question

证明an=1+1/2+....+1/n-lnn此数列收敛

Answer 1

先证明一个不等式,当x≥0时,总有ln(1+x)≤x.
令f(x)=ln(1+x)-x,x≥0,则f'(x)=1/(1+x)-1≤0恒成立
故f(x)为减函数
∴当x>0时,f(x)<f(0)=0
即对任意x>0,ln(1+x)<x成立.
又∵对任意正整数n,总有1/n>0
∴1/n>ln(1+1/n)
∴an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln[2*3/2*4/3*...*(n+1)/n]-lnn
=ln(n+1)-lnn
>0
故{an}有下界
而an+1-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn
=1/(n+1)-ln[(n+1)/n]
=1/(n+1)-ln(1+1/n)
<1/(n+1)-1/n
<0
故{an}单调递减
由单调有界定理得,{an}收敛.

Answer 2

引用sumeragi693的回答：
先证明一个不等式,当x≥0时,总有ln(1+x)≤x.
令f(x)=ln(1+x)-x,x≥0,则f'(x)=1/(1+x)-1≤0恒成立
故f(x)为减函数
∴当x>0时,f(x)<f(0)=0
即对任意x>0,ln(1+x)<x成立.
又∵对任意正整数n,总有1/n>0
∴1/n>ln(1+1/n)
∴an=1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+...+ln(1+1/n)-lnn
=ln[2*3/2*4/3*...*(n+1)/n]-lnn
=ln(n+1)-lnn
>0
故{an}有下界
而an+1-an=1/(n+1)-ln(n+1)+lnn
=1/(n+1)-ln[(n+1)/n]
=1/(n+1)-ln(1+1/n)
<1/(n+1)-1/n
<0
故{an}单调递减
由单调有界定理得,{an}收敛.

倒数第五行 应该为1/n+1+ln(n)-ln(n+1)
因为1/n+1小于ln(1+1/n)
所以1/n+1+ln（n/n+1）小于Ln(n+1/n)+ln(n/n+1)=ln(1)=0
所以An数列递减