Question

数学分析考研题目

+∞
设f(x)在[0,+∞]上连续可微，并且∫ f^2 (x)dx<+∞，如果|f`(x)|≤C（当x>0时)，其
0
中C为一常数，试证 lim f(x)=0
x—>+∞
再写一遍 ：
+∞
设f(x)在[0,+∞）上连续可微，并且∫ f^2 (x)dx<+∞，如果|f`(x)|≤C（当x>0时)，其
0
中C为一常数，试证 lim f(x)=0
x—>+∞

Answer 1

只要证明f^2(x)是一致连续的就可以了。
对任意的e>0，存在X，当B>A>=X时，有∫ （从A到B）f^2(x)dx<e/(4C^2)；
于是由Cauchy-Schwartz不等式，对任意的0<B--A<=1，有
1/4*|f^2(B)--f^2(A)|^2=|∫ （从A到B）f(x)f'(x)dx|^2
<=∫ (从A到B）f^2(x)dx* ∫ (从A到B) (f‘(x))^2dx
<=e/(4C^2)*C^2*(B--A)<e/4，
即|f^2(B)--f^2(A)|<根号(e)。
在【0，X】上f^2(x)一致连续，故存在d1，使得
对任意的A，B位于【0，X+1】，有|f^2(A)--f^2(B)|<根号(e)；
取d=min{d1,1}，则可以证明，对任意的A，B位于【0，+无穷），
只要|A--B|<d，必有
|f^2(A)--f^2(B)|<根号(e)，
于是f^2(x)一致连续。