Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c(a不为0)的顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4作垂线，垂足...

已知抛物线y=ax^2+bx+c(a不为0)的顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4作垂线，垂足为M.(1)求a,b,c的值。(2)对抛物线上任意一点P,是否存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立？

Answer 1

已知抛物线y=ax^2+bx+c(a不为0)的顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=5/4作垂线，垂足为M.(1)求a,b,c的值。(2)对抛物线上任意一点P,是否存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立？
(1)解析：∵抛物线y=ax^2+bx+c(a不为0)的顶点为C(1,1)且过原点O
∴a<0,c=0
∴a+b=1，-b/(2a)=1==>b=-2a==>a=-1,b=2
∴抛物线y=-x^2+2x
(2)解析：∵抛物线y=-x^2+2x==>(x-1)^2=-y+1
∴该抛物线的顶点坐标为(1,1),焦点坐标为(1,1-p/2)
P=1/2==>p/2=1/4==>F(1,3/4)
根据抛物线e=1，即抛物线 上的点到其准线的距离与到焦点之距相等
∴所求点为抛物线的焦点
∴t=3/4

Answer 2

1
过O(0,0)
c=0
y=ax^2+bx
=a(x+b/2a)^2-b^2/4a
b/2a=-1 -b^2/4a=1
b=-2a
-a=1
a=-1,b=2
y=-x^2+2x

2
y=-x^2+2x
PM=(-x^2+2x-5/4)
PN^2=(x-1)^2+(-x^2+2x-t)^2
PM^2=PN^2
(-x^2+2x-5/4)^2=(x-1)^2+(-x^2+2x-t)^2
(-x^2+2x-5/4)^2-(-x^2+2x-t)^2=(x-1)^2
(t-5/4)*(-2x^2+4x-t-5/4)=x^2-2x+1
(-2)(t-5/4)x^2+(4t-5)x+(25/16-t^2)=x^2-2x+1
t=3/4时，PM=PN

Answer 3

a=-1
b=2
c=0