Question

八年级数学（全等三角形）

如图，在锐角△ABC中，AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？（请给祥解）

Answer 1

过B作BG⊥AC于G，交AD于M'，过M'作M'N'⊥AB于N'

则BM‘+M’N'的最小

因为AD是<BAC的平分线，N点都能在AC上找到对称点N'',则MN=MN''

BM+MN=BM+MN''

点B到AC的所有连线中BG最短(垂线段最短)，即BM+MN''>BG

AD是<BAC的平分线，BG⊥AC，M'N'⊥AB

M'N'=GM'(角平分线的性质)

BM‘+M’N'=BG

在RT△ABG中，<GAB=45,AB=4,根据勾股定理，

BG=√2/2AB=√2/2*4=2√2

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答：
过B作BE⊥AC于E，交AD于M，过M作MF⊥AD于F，交AB于N，
则M、N为所求的点。这时BM+MN=BE=4÷√2=2√2。
理由：连接MN，易得：ΔAFE≌ΔAFN，∴FE=FN，∴AF垂直平分EN，∴ME=MN
∴BM+MN=BM+ME=BE=2√2(成线段最短)。

Answer 3

在AC线上取一点E使AE=AB.自E点向AB作垂线交AD于F、交AB于G;自M点向EG作垂线垂足为H.连接BE、BF、EM.
ABE为等腰三角形，AD为∠A的平分线，则AD必为BE的垂直平分线，故BF=EF、 BM=EM。
当动点M不与F点重合时，BM=EM＞EH、 MN≥HG,则BM+MN＞EH+HG=EG;
当M点与F点重合、N点与G点重合时，BM+MN=EF+FG=EG.
故知：BM+MN≥EG.
AEG为直角等腰三角形，所以EG=AE/√2=4√2/√2=4.
得BM+MN≥4，即BM+MN的最小值是4

Answer 4

最少值是4，证明过程稍后发布!