如图,已知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∠B与∠D互补,求证AB+AD=√3AC
3个回答
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假设AB<AD
过C作CE垂直于AB延长线,过C作CF垂直于AD
AC是∠FAE平分线,根据角平分线的性质,CF=CE
因为∠ABC+∠ADC=180°
∠ABC=∠BCE+∠E(三角形外角等于两内角之和)
所以
∠BCE+∠E+∠ADC=180°
因为
∠ADC+∠DCF+∠DFC=180°
∠DFC=∠E=90°
所以
∠DCF=∠BCE
综上,∠DFC=∠E,∠DCF=∠BCE,CF=CE
△CDF≌△CBE
所以
DF=BE
所以
AB+AD=AF+AE
∠CAB=∠CAD=1/2∠DAB=30°
所以
AF=AE=AC*cos30°=√3/2 AC
AB+AD=AF+AE=√3 AC
过C作CE垂直于AB延长线,过C作CF垂直于AD
AC是∠FAE平分线,根据角平分线的性质,CF=CE
因为∠ABC+∠ADC=180°
∠ABC=∠BCE+∠E(三角形外角等于两内角之和)
所以
∠BCE+∠E+∠ADC=180°
因为
∠ADC+∠DCF+∠DFC=180°
∠DFC=∠E=90°
所以
∠DCF=∠BCE
综上,∠DFC=∠E,∠DCF=∠BCE,CF=CE
△CDF≌△CBE
所以
DF=BE
所以
AB+AD=AF+AE
∠CAB=∠CAD=1/2∠DAB=30°
所以
AF=AE=AC*cos30°=√3/2 AC
AB+AD=AF+AE=√3 AC
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由∠B=∠D,∴A,B,C,D四点共圆
∴BC=DC,
由余弦定理:
BC²=AB²+AC²-2×AB×AC×cos30°,
DC²=AD²+AC²-2×AD×AC×cos30°,
∴AB²+AC²-2×AB×AC×cos30°=AD²+AC²-2×AD×AC×cos30°,
AB²-AD²=√3AC(AB-AD)
(AB+AD)(AB-AD)=√3AC(AB-AD)
∴AB+AD=√3AC。
∴BC=DC,
由余弦定理:
BC²=AB²+AC²-2×AB×AC×cos30°,
DC²=AD²+AC²-2×AD×AC×cos30°,
∴AB²+AC²-2×AB×AC×cos30°=AD²+AC²-2×AD×AC×cos30°,
AB²-AD²=√3AC(AB-AD)
(AB+AD)(AB-AD)=√3AC(AB-AD)
∴AB+AD=√3AC。
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证明:如图,在AB上截取AE=AD、连接CE,做CF⊥AB,垂足为F
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠EAC
在△DAC和△EAC中
AE=AD
∠DAC=∠EAC
AC=AC
∴△DAC≌△EAC(SAS)
∴∠D=∠AEC、AE=AD
又∵∠CEB+∠AEC=180°
∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CEB
∴△CEB为等腰三角形
又∵CF⊥EB
∴EF=EB【等腰三角形三线合一性质】
在Rt△CAF中
∠CAF=30°【平分线性质】
∴AF=(√3/2 )AC
即:2AF=√3AC
AF+AF=√3AC
(AE+EF)+(AB-BF)=√3AC
AE+AB=√3AC【这里AE=AD】
∴AB+AD=√3AC
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠EAC
在△DAC和△EAC中
AE=AD
∠DAC=∠EAC
AC=AC
∴△DAC≌△EAC(SAS)
∴∠D=∠AEC、AE=AD
又∵∠CEB+∠AEC=180°
∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CEB
∴△CEB为等腰三角形
又∵CF⊥EB
∴EF=EB【等腰三角形三线合一性质】
在Rt△CAF中
∠CAF=30°【平分线性质】
∴AF=(√3/2 )AC
即:2AF=√3AC
AF+AF=√3AC
(AE+EF)+(AB-BF)=√3AC
AE+AB=√3AC【这里AE=AD】
∴AB+AD=√3AC
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