Question

如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证AB+AD=√3AC

Answer 1

假设AB<AD
过C作CE垂直于AB延长线，过C作CF垂直于AD
AC是∠FAE平分线，根据角平分线的性质，CF=CE
因为∠ABC+∠ADC=180°
∠ABC=∠BCE+∠E（三角形外角等于两内角之和）
所以
∠BCE+∠E+∠ADC=180°
因为
∠ADC+∠DCF+∠DFC=180°
∠DFC=∠E=90°
所以
∠DCF=∠BCE
综上，∠DFC=∠E，∠DCF=∠BCE，CF=CE
△CDF≌△CBE
所以
DF=BE
所以
AB+AD=AF+AE
∠CAB=∠CAD=1/2∠DAB=30°
所以
AF=AE=AC*cos30°=√3/2 AC
AB+AD=AF+AE=√3 AC

Answer 2

由∠B=∠D，∴A，B，C，D四点共圆
∴BC=DC，
由余弦定理：
BC²=AB²+AC²-2×AB×AC×cos30°，
DC²=AD²+AC²-2×AD×AC×cos30°，
∴AB²+AC²-2×AB×AC×cos30°=AD²+AC²-2×AD×AC×cos30°，
AB²-AD²=√3AC（AB-AD）
（AB+AD）（AB-AD）=√3AC（AB-AD）
∴AB+AD=√3AC。

Answer 3

证明：如图，在AB上截取AE=AD、连接CE，做CF⊥AB，垂足为F
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠EAC
在△DAC和△EAC中
AE=AD
∠DAC=∠EAC
AC=AC
∴△DAC≌△EAC（SAS）
∴∠D=∠AEC、AE=AD
又∵∠CEB+∠AEC=180°
∠B+∠D=180°
∴∠B=∠CEB
∴△CEB为等腰三角形
又∵CF⊥EB
∴EF=EB【等腰三角形三线合一性质】
在Rt△CAF中
∠CAF=30°【平分线性质】
∴AF=(√3/2 )AC
即：2AF=√3AC
AF+AF=√3AC
（AE+EF）+（AB-BF）=√3AC
AE+AB=√3AC【这里AE=AD】
∴AB+AD=√3AC