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证明：延长CD至M，使DM=BE，连接AM
∴FM=BE+DF,
∵AB=AD,∠ABE=∠ADM=90°,
∴△ABE≅△ADM
∴AE=AM，,∠BAE=∠DAM
∵∠EAF=∠DAF,∴∠BAF=∠MAF,
∵∠AFD=∠BAF,∴∠AFD=∠MAF,
∴AM=FM,
所以AE=BE+DF
∴FM=BE+DF,
∵AB=AD,∠ABE=∠ADM=90°,
∴△ABE≅△ADM
∴AE=AM，,∠BAE=∠DAM
∵∠EAF=∠DAF,∴∠BAF=∠MAF,
∵∠AFD=∠BAF,∴∠AFD=∠MAF,
∴AM=FM,
所以AE=BE+DF
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夕资工业设备（上海）
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把△AFD顺时针旋转 使点D与点B重合 点F移至F`
∵AB∥CD ∴∠BAF=∠AFD
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF
AF平分∠EAD
∴∠EAF=∠DAF
∠BAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠F`AB=∠F`
即∠F`AE=∠F`
∴AE=EF`
∵DF=F`B
∴F`B+BE=DF+BE=F`E=AE
即结论AE=BE+DF成立
∵AB∥CD ∴∠BAF=∠AFD
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF
AF平分∠EAD
∴∠EAF=∠DAF
∠BAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠F`AB=∠F`
即∠F`AE=∠F`
∴AE=EF`
∵DF=F`B
∴F`B+BE=DF+BE=F`E=AE
即结论AE=BE+DF成立
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将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度得三角形AD'F'，由于AD=AB，角D+角B=180度，所以D'与B重合，F'，B，C三点共线 角AF'B=角AFD=角BAF，又角EAF=角DAF=角BAF'，所以角BAF=角EAF'=角AF'B，所以EA=EF'=EB+BF'=EB+DF
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