Question

如图：ABCD是正方形，E是BC边上一点，AF平分角DAE。 求证：BE+DF=AE

请各位聪明人士帮帮忙，谢谢！

Answer 1

证明：延长CD至M，使DM=BE，连接AM
∴FM=BE+DF,
∵AB=AD,∠ABE=∠ADM=90°,
∴△ABE≅△ADM
∴AE=AM，,∠BAE=∠DAM
∵∠EAF=∠DAF,∴∠BAF=∠MAF,
∵∠AFD=∠BAF,∴∠AFD=∠MAF,
∴AM=FM,
所以AE=BE+DF

Answer 2

把△AFD顺时针旋转 使点D与点B重合 点F移至F`

∵AB∥CD ∴∠BAF=∠AFD

∵∠BAF=∠BAE+∠EAF

AF平分∠EAD

∴∠EAF=∠DAF

∠BAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠F`AB=∠F`

即∠F`AE=∠F`

∴AE=EF`

∵DF=F`B

∴F`B+BE=DF+BE=F`E=AE

即结论AE=BE+DF成立

Answer 3

将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度得三角形AD'F'，由于AD=AB，角D+角B=180度，所以D'与B重合，F'，B，C三点共线 角AF'B=角AFD=角BAF，又角EAF=角DAF=角BAF'，所以角BAF=角EAF'=角AF'B，所以EA=EF'=EB+BF'=EB+DF