Question

已知对称轴为Y轴的抛物线Y=ax方+c与直线L1交与A[-4,3]B[2,0]两点经过点C[0,-2]的直线L2与X轴平行O为坐标原

求直线L1和这条抛物线的解析式 2，以A为圆心OA为半径的园记为OA 判断L2与OA的位置关系并说明理由 3 ，设直线L1上的点D的横坐标为-1 P[m,n]是抛物线上的一动点，当三角形PDO的周长最小时、求四边形CODP的面积
第二问在详细点

Answer 1

1. 过A(-4,3): 16a + c = 3
过B(2,0]: 4a + c = 1
联立得a = 1/4, b = -1
y = x²/4 - 1

2. OA = √[(-4-0)² + (3 - 0)²] = 5
L2: y = -2
该圆与L2的距离为圆心和L2纵坐标之差=3-(-2) = 5
圆与L2相切。

3. D(-1, -3/4)
与已知两点的距离之和最小的点在该线段的中垂线上（这里不作证明)
OD的中点M(-1/2, -3/8)
OD的斜率k = (-3/4 -0)/(-1 -0) = 3/4
OD的中垂线的斜率k' = -4/3
OD的方程：y + 3/8 = -（4/3)(x + 1/2)
y = -4x/3 - 25/24
与抛物线的解析式联立: 6x² + 32x + 1 = 0
x = (-16±5√10)/6
画个草图可知, 二解中，x = (-16+5√10)/6与D和O的距离之和更小，P((-16+5√10)/6, (235-80√10)/18)
CODP为凹四边形，其面积S为三角形OCD的面积S1减去三角形OCP的面积S2
S1 = (1/2)OC*|D的横坐标|
= (1/2)*2*1
=1
S2 = (1/2)OC*|P的横坐标|
= (1/2)*2*|(-16+5√10)/6|
= (16-5√10)/6
S = S1 - S2 = 1 - (16-5√10)/6 = (5√10-10)/6

Answer 2

-1 P[m,n]是抛物线上的一动点，当三角形PDO的周长最小时、求四边形CODP的面积