Question

设数列an的前n项和为Sn，已知a1=a2=1,数列n*sn+(n+2)an是等差数列，n为正整数。

1.求数列an的通项公式
2.求证（a1*a2*a3...*an)*(S1*S2*S3...*Sn)<2的2n+1次方除于（（n+1)*(n+2））
3.设bn=(-1)的n-1次方*an,Tn是数列bn的前n项和，问是否存在整数K,使得对于任意正整数n，都有4<K*(3Tn-bn)<12.
跪求高手指点！

Answer 1

终于是把二三问做出来了。当然要借荐楼上仁兄的妙法，借用解出来的an通项公式，解2,3问。
第二问：
由楼上的推算很容易算出sn=4—(n+2)/2^(n-1)。观察不等式左边是n项和n项连乘，右边有2的2n+1次方，可以把左边每项除2，相当于右边分子除了2^(2n)。设dn=an/2*sn/2=n/2^n*(2-(n+2)/2^n)则原不等式即证Rn=d1*d2*.....*dn<2/((n+1)*(n+2))。用数学归纳法，n=1时，R1=1/4<1/3。假设n=k时k>=1,Rk<右边，那么n=k+1时，Rk+1=Rk*dk+1<2/((k+1)*(k+2))*dk+1。要证k+1下不等式成立，可以做些变换，带入dk+1，即要证(k+3)/2^(k+1)*(2-(k+3)/2*(k+1))<1。此不等式把左边变成常数2，可变为要证2<(k+3)/2^(k+1)+2^(k+1)/(k+3)。显然根据重要不等式，右边>=2。该不等式成立，即可得n=k+1时原不等式也成立。从而对所有正整数n原不等式成立。
第三问：
这个挺简单的，先求bn=n*(-1/2)^(n-1)。这是个等差比数列，求和不用赘述，求得Tn=4/9-2/3*(n+2/3)*(-1/2)^n。那么3Tn-bn=4/3*(1-(-1/2)^n)。合并的时候仔细点，打字很麻烦就不打出来了，你也应该会合并。其实这就是个恒成立问题了是对所有正整数n而言，找到3T-bn的最值就可以了。显然(-1/2)^n在n=1时最小，为-1/2,n=2时最大，为1/4。从而3Tn-bn在区间[1,2]取值，取得到边界值，当然1,2之间的所有实数不一定都能取到，这个不妨碍恒成立问题的解决。自然就应该有k>4,2k<12。所有4<k<6,k是整数，故k=5。
这个题有难度啊，第一问求an思路要缜密，推算方法很多，融合了好多，我也是做了半天才做出二三问，结合我和楼上仁兄过程，这个题就算解决了。其中的变换方法你应该好好体会，真的不错。思路神马的都是积累来的，加油！高考路上你不孤单，一直有老师家人，坚持到最后。

Answer 2

1.设cn=n*sn+(n+2)an
c1=4，c2=8
所以d=4
所以cn=4n
所以n*sn+(n+2)an=4n
因为n>=1
所以sn+an*[(n+2)/n]=4
所以sn+an*[(n+2)/n]=sn_1+an_1*[(n+1)/(n-1)]
所以an*[(2n+2)/n]=an_1*[(n+1)/(n-1)]
所以an/an_1=(n>=2）
累乘得an=n/[2^(n-1)]
因为a1=1符合
所以an=n/[2^(n-1)]

追问

其实我1，2,,3都做出来了，就是不知道对不对。1跟你算的一样，2我用数学归纳法硬解，3我算的K为2或3.

Answer 3

42

追问

WHAT DO YOU MEAN

追答

①an+1=Sn+1-Sn
②an=Sn-Sn_1(n≥2)
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn
=(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an)
=1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2)
即2an=an+1+an_1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列

参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/69494375.html