Question

求函数f(x)=sin(π/3+4x)+sin(4x-π/6)的最小正周期和递减区间

Answer 1

解答如下：
sin（4x - π/6）= cos（4x + π/3）
所以f（x）= sin(π/3+4x)+sin(4x-π/6)
= sin(π/3+4x)+ cos（4x + π/3）
= √2sin（4x + π/3 + π/4）
= √2sin（4x + 7π/12）
所以最小正周期为π/2

sin的递减区间为（π/2 + 2kπ，3π/2 + 2kπ），k ∈ Z
所以4x + 7π/12 ∈ （π/2 + 2kπ，3π/2 + 2kπ），k ∈ Z
所以递减区间为 x ∈ （-π/48 + kπ/2,11π/48 + kπ/2），k ∈ Z

Answer 2

f(x)=sin(π/3+4x)+sin(4x-π/6)
=sin(π/3+4x)+cos(2x+π/3)
=√2sin(4x+7π/12)
=√2cos(4x+π/12)
最小正周期T=2π/4=π/2
2kπ<=4x+π/12<=2kπ+π
kπ/2-π/48<=x<=kπ/2+11π/48
递减区间 [kπ/2-π/48，kπ/2+11π/48] k∈Z

Answer 3

sin(π/3+4x)=cos[π/2-(π/3+4x)]=cos(π/6-4x)

f(x)=sin(π/3+4x)+cos(4x-π/6)=2cos(4x-π/6)
最小正周期是：T=2π/4=π/2

2kπ=<4x-π/6<=2kπ+π
2kπ+π/6=<4x<=2kπ+7π/6
(kπ/2)+(π/24)=<x<=(kπ/2)+(7π/24)
递减区间是[(kπ/2)+(π/24)，(kπ/2)+(7π/24)]

Answer 4

解：
f(x)=sin(π/3+4x)+sin(4x-π/6)
f(x)=sin(π/3)cos(4x)+cos(π/3)sin(4x)+sin(4x)cos(π/6)-cos(4x)sin(π/6)
f(x)=(1/2)[√3cos(4x)+sin(4x)+√3sin(4x)-cos(4x)]
f(x)=(√2){[(√3-1)/(2√2)]cos(4x)+[(√3+1)/(2√2)]sin(4x)}
令：(√3-1)/(2√2)=sinα，则：(√3+1)/(2√2)=cosα
代入上式，有：
f(x)=(√2)[sinαcos(4x)+cosαsin(4x)]
f(x)=(√2)sin(4x+α)
最小正周期：
2π/4=π/2
递减区间：
f(x)=(√2)sin(4x+α)
令：f(x)≤0，即：(√2)sin(4x+α)≤0
整理，有：sin(4x+α)≤0
解得：kπ/2+3π/8-α/4≤x≤kπ/2+π/4-α/4，其中：k=0、±1、±2……，α=arcsin[(√6-√2)/4]
即：f(x)的递减区间是：
x∈[kπ/2+3π/8-α/4，kπ/2+π/4-α/4]，其中：k=0、±1、±2……，α=arcsin[(√6-√2)/4]