Question

已知:二次函数y=x^2

已知:二次函数y=x^2-4x+m的图像与X轴交于不同的两点A(x1,0)、B(x2，0)（x1＜x2），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D（1）求实数m的取值范围（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式  (3)把（2）中所得的二次函数的图像沿y轴上下平移，如果平移后的函数图像与x轴交于点A1，B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图像的函数解析式

Answer 1

（1）函数Y=X²-4X+M图象与X轴有两个不同的交点，所以X²-4X+M=0有两个不相等的实数根
△=（-4）²-4M=16-4M＞0，M＜4
（2）（X1+1）（X2+1）=X1X2+X1+X2+1=8
根据韦达定理，X1X2=M，X1+X2=4
4+M+1=8，M=3
二次函数解析式为Y=X²-4X+3
（3）原函数对称轴为X=-（-4）/2=2
由于函数图象上下平移，所以对称轴不变。a=1,b=-4
设新函数解析式Y=X²-4X+C，与X轴交点坐标为（X3，0）、（X4，0）
A1B1=X4-X3，且X3、X4为方程X²-4X+C=0的两个实数根
根据韦达定理，X4+X3=4，X3X4=C
（X4-X3）²=（X4+X3）²-4X3X4=16-4C
代入X=2，Y=C-4。顶点纵坐标为C-4
因为函数图象开口向上，且与X轴有两个交点，所以顶点在X轴下方
顶点到X轴距离为-（C-4）=4-C
△A1B1C1为等边三角形，（4-C）：A1B1=√3：2
（4-C）²：（16-4C）=3：4
4（4-C）²=3（16-4C）
4（4-C）²-3（16-4C）=0
4（4-C）（4-C-3）=0
C1=4（舍去）此时二次函数与X轴只有1个交点
C2=1
平移后新函数解析式为Y=X²-4X+1

Answer 2

已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点，横坐标是正整数，纵坐标是完全b2=a2+a+11. 将a2移到左侧,整理得: (b+a)(b-a)=(a+11)*1 因