Question

求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角阵 [2,2，-2 2,5，-4 -2，-4,5]

Answer 1

第一步：求原矩阵A特征向量；

第二步：特征向量的矩阵正交单位化为P；

第三步：将P转置为Q并得出Q^(-1) A Q =J（其中J为对角阵）

结果如下：

Answer 2

解: |A-λE|=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ

r3+r2
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ

c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= (10-λ)(1-λ)^2.

A的特征值为: λ1=10,λ2=λ3=1.

(A-10E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-2)'
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(2,-1,0)',a3=(2,0,1)

正交化得
b1=(1,2,-2)'
b2=(2,-1,0)'
b3=(1/5)(2,4,5)'

单位化得
c1=(1/3,2/3,-2/3)'
c2=(2/√5,-1/√5,0)'
c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'

令Q=(c1,c2,c3). 则Q是正交矩阵,且 Q^-1AQ=diag(10,1,1).

Answer 3

求特征值，求特征向量，化为标准正交基，合在一起就是啦