Question

高中数学问题

已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
求数列{an/2^n-1}的前n项和。（注；n-1 是一个整体，2的n-1方）
请写下详细过程，谢谢了。

Answer 1

已知等差数列{a‹n›}满足a₂=0,a‹6›+a‹8›=-10求数列{a‹n›/2ⁿֿ¹}的前n项和。
解：a‹6›+a‹8›=(a₂+4d)+(a₂+6d)=10d=-10，故d=-1；又a₂=a₁+d=a₁-1=0，故a₁=1.
∴{a‹n›}是首项a₁=1，公差d=-1的等差数列，于是得a‹n›=1-(n-1)=2-n；
设b‹n›=a‹n›/2ⁿֿ¹=(2-n)/2ⁿֿ¹=2[(2-n)/2ⁿ]
故其前n项和S‹n›：
S‹n›=2{1/2+0/2²+(-1/2³)+(-2)/2⁴+......+[-(n-3)]/2ⁿֿ¹+(2-n)/2ⁿ}.........................(1)
(1/2)S‹n›=2{1/2²+0/2³+(-1/2⁴)+(-2/2^5)+......+[-(n-3)/2ⁿ+(2-n)/2^(n+1)}...........(2)
(1)-(2)(错项相减)得：
(1/2)S‹n›=2{1/2-1/2²-1/2³-1/2⁴-........-1/2ⁿ-(2-n)/2^(n+1)}
=1-(1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+......+1/2ⁿֿ¹)-(2-n)/2ⁿ=1-(1/2)[1-1/2ⁿֿ¹]/(1-1/2)-(2-n)/2ⁿ
=1/2ⁿֿ¹-(2-n)/2ⁿ=2/2ⁿ-(2-n)/2ⁿ=n/2ⁿ.
故S‹n›=n/2ⁿֿ¹，(n=1，2，3，.......)

追问

S‹n›=2{1/2+0/2²+(-1/2³)+(-2)/2⁴+......+[-(n-3)]/2ⁿֿ¹+(2-n)/2ⁿ}.........................(1)
(1/2)S‹n›=2{1/2²+0/2³+(-1/2⁴)+(-2/2^5)+......+[-(n-3)/2ⁿ+(2-n)/2^(n+1)}...........(2)
这两步中的“⁴”是什么意思，我没看懂，能详细解释一下吗？

追答

2的4次方。

Answer 2

首先求解出an，这个你应该没有问题
然后，你会发现，需要求解的数列{an/2^n-1}是一个等差与等比数列的乘积，这个必须使用错位相减法。具体办法就是写出前n相和的完整式子，再左右两边乘以公比1/2，两个式子做减法，注意第二项减去第一项，错开做减法。你就可以完成。希望帮到你。