Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，对角线AC和BD相交于点O。在AB上取一

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，对角线AC和BD相交于点O。在AB上取一点E，延长CB到点F，使得EB=FB，连接AF、CE.
（1）求证：线段AF⊥CE
（2）如图二，将△EBF饶点B逆时针旋转到边BF恰好落在线段BO上时，边EF与BC交于点M，判断（1）中结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明
（3）当OF=√5/6时，证明：△BME~△BOA

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答：
⑴过D作DG⊥BC于G，则ABGD是矩形，∴DG=AB=2，
∵tanC=DG/CG=2，∴CG=1，∴BC=AD+CG=2，∴AB=BC，
∵BE=BF，∴RTΔBAF≌RTΔBCE，∴∠ECB=∠BAF，
∵∠BAF+∠F=90°，∴∠ECB+∠F=90°，∴AF⊥CE。
⑵AF⊥CE。
理由：∵∠ABC=∠EBF=90°，∴∠ABC-∠FBC=∠EBF-∠FBC，即∠ABF=∠CBE，
∵BA=BC，BF=BE，∴ΔBAF≌ΔBCE，∴∠BAF=∠BCE，
延长AF交BC于H、交CE于P，则∠CHP=∠AHB，
又∠BAF+∠AHB=90°，∴∠CHP+∠BCE=90°，∴AF⊥CE。
⑶在RTΔABC中，AB=AC，∴∠BAO=45°，又ΔBEF是等腰直角三角形，∴∠BEM=45°
且∠ABO=∠CBE(⑵中已证)，
∴ΔBME∽ΔBOA。(已知条件中的线段OF=√5/6是多余的)