高等数学问题，这个定积分怎么求
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解：分享一种解法，利用贝塔函数的定义，及与伽玛函数的关系来求解。
设t=tan(x/2)，则x∈[0,π/2]，∴In=∫(0,π/2)(sinx)^ndx。
又，贝塔函数B(a,b)=2∫(0,π/2)(sinx)^(2a-1)(cosx)^(2b-1)dx，
∴In=(1/2)B[(n+1)/2,1/2]=(1/2)Γ[(n+1)/2]Γ(1/2)Γ(n/2+1)。
①当n=2k-1(k=1,2,……）,为奇数时，In=(1/2)B[(n+1)/2,1/2]=[2^(k-1)](k-1)!/[(2k-1)!!]。
②当n=2k(k=1,2,……）,为偶数时，In=(1/2)B[(n+1)/2,1/2]=[(2k-1)!!]π/[(k!)2^(k+1)]。
③n=0时，I0=π/2。
供参考。
设t=tan(x/2)，则x∈[0,π/2]，∴In=∫(0,π/2)(sinx)^ndx。
又，贝塔函数B(a,b)=2∫(0,π/2)(sinx)^(2a-1)(cosx)^(2b-1)dx，
∴In=(1/2)B[(n+1)/2,1/2]=(1/2)Γ[(n+1)/2]Γ(1/2)Γ(n/2+1)。
①当n=2k-1(k=1,2,……）,为奇数时，In=(1/2)B[(n+1)/2,1/2]=[2^(k-1)](k-1)!/[(2k-1)!!]。
②当n=2k(k=1,2,……）,为偶数时，In=(1/2)B[(n+1)/2,1/2]=[(2k-1)!!]π/[(k!)2^(k+1)]。
③n=0时，I0=π/2。
供参考。
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