Question

线性代数中，A有互不相同的特征值a1,a2,a3,.......as;它们的重数分别为k1,k2,......ks.

那么，A可对角化与“ai有ki个线性无关的特征向量。”等价吗？为什么？

Answer 1

等价.

n阶方阵A可对角化
<=>A有n个线性无关的特征向量
<=>A的k重根有k个线性无关的特征向量.

追问

第二个等价为什么？

追答

因为|A-λE| 共有n个根(重根按重数计)
用你的记号, 有 k1+k2+...+ks=n
ai有ki个线性无关的特征向量(i=1,2,...,s) A有n个线性无关的特征向量

Answer 2

不等价，多重特征值的矩阵和其若当标准型形状有关
下面两个矩阵的特征值一样，但是特征向量是不一样的
1 0 0
0 1 1
0 0 1
和
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Answer 3

不等价