Question

已知点P是双曲线x²/a²-y²/b²=1（a,b>0）右支上的一点，F1 F2是双曲线的左右焦点，

I为△PF1F2的内心 若S△IPF1=S△IPF2+1/2△IF1F2成立，求双曲线的离心率

Answer 1

延长PI，交X轴于Q点，设△PF1F2内切圆半径为r,
P点在右支，则|PF1|>|PF2|,
则S△IPF1=|F1P|*r/2,
S△IPF2=|PF2|**r/2,
S△IF1F2=|F1F2|*r/2=2c*r/2=cr,,
S△IPF1-S△IPF2=|PF1*r/2-|PF2|*r/2=(r/2)*(|PF1|-|PF2|）
根据双曲线定义，|PF1|-|PF2|=2a,
∴S△IPF1-S△IPF2=(r/2)*2a=ar,
∵S△IPF1=S△IPF2+1/2△IF1F2，
∴S△IPF1-S△IPF2=1/2△IF1F2=cr/2,
∴ar=cr/2,
∴c/a=2,
∴离心率e=c/a=2.